数学 整数 45を引いても44を足しても平方数となるような自然数を求めよ という問題で、解答は写真の

数学 整数
45を引いても44を足しても平方数となるような自然数を求めよ
という問題で、解答は写真のようになっていました。
解答の4行目の「を満たす自然数a,bが存在する.」とありますが、a,bが整数ではなく自然数といえる理由が分
からないのでどなたか教えて下さい。

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/18 13:33

自然数の2乗のことを平方数と言います

つまり、平方数も元（2乗する前）は自然数なのです
このことから、n-45が平方数：a²になるのなら
2乗される前のaは自然数ということになります（ｂも同様）

この回答へのお礼

平方数という言葉が自然数の2乗であることを知りませんでした！
これで解決しました。ありがとうございます！

お礼日時：2020/01/18 13:42

No.5 回答者： windwald 回答日時： 2020/01/18 13:39

別に整数a,bとしてもいいけど、そのあとの論理展開がめんどくさいでしょ。

～を満たす整数a,bがそんざいする。ただし|b|>|a|
b^2-a^2＝89 だから(b+a)(b-a)=89
89の正の約数は1,89の2つ存在する(89は素数)。

(i) b>a>0のとき、
　b+a＞b-a>0より　(b+a,b-a)=(89,1)だから(a,b)=(44,45)
よってn=1981

(ii) a>0>bのとき、
　0>b+a>b-aより、 (b+a,b-a)=(-1,-89)だから(a,b)=(44,-45)
よってn=1981

(iii) b>0>aのとき、
　b-a>b+a>0より、(b+a,b-a)＝(1,89)だから(a,b)=(45,-44)
よってn=1981

(iv) 0>a>bのとき、
　0>b-a>b+aより、(b+a,b-a)＝(-89,-1)だから(a,b)=(-45,-44)
よってn=1981

ここまでしなくても、aやb自身の正負は条件に影響していないのは明らかなわけだから
ともに正の場合に限って考えたので良いというわけです。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2020/01/18 13:43

No.3 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/01/18 13:32

例えばcが負の数だったとします

すると、+cは-|c|だし、-cは+|c|となります

aの代わりにcを使うと、真ん中の因数分解の式は
(b+c)(b-c)=(b-|c|)(b+|c|)
ということで、整数cを使っても、結局自然数|c|を使って値が求められることになります
それなら、bやcの値を知りたいならともかく、m,nを知りたいので、わざわざcが正か負かは気にしなくていっか！と言うことです

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/01/18 13:14

x²=a(a>0)の整数解のうち、正の方を平方数と言う。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/18 13:07

平方数とは自然数の２乗のことです

この回答へのお礼

それはnのことではないですか？

お礼日時：2020/01/18 13:15