
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
コンパクト
の定義は、
どんな、開被服に対しても、開被服に使われている開集合の中から有限個を上手く選べば、
その選んだ有限個で、空間全体を覆える。
ということです。
さて、全有界は、
全ての実数 ϵ > 0 に対して、 S 内の半径 ϵ > 0 の開球の有限個の集まりでその合併が S を覆う様なものが存在すること。
です。
Sが全有界と仮定すれば、
Sを覆おう有限個の開球を選べます。
さて、
証明の文章に沿って考えれば、
全有界なのに、コンパクトではないとすれば、
コンパクトではないのだから、
ある開被覆があって、その被覆からは、有限個の開集合からなるSの被覆を作れない。。。。。*
ことになります。
このような被覆が存在したとする。
この被覆と固定して考える。
この被覆はSを覆っているのだから、Sに含まれる開球も覆っている。
開球の個数は有限個。
全ての開球が有限個の開集合(固定したSの被覆の中から選んだもの)でカバーされているなら、
開球全体がSをカバーしているのだから、
S自体も有限個(有限個*有限個=有限個)の開集合で覆われることになり、
条件*に矛盾する。
だから、すくな事も1個の開球は、有限個の開集合ではカバーできないことになる。
と言うのが、
オレンジ色の部分の意味です。
落ち着いて読み返しましょう。
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