∮ [0→1] arctanx dx の定積分を求める問題が分かりません。途中式から教えてください。

∮ [0→1] arctanx dx の定積分を求める問題が分かりません。途中式から教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/19 01:20

y = arctan x と置く。

x = 0→1 のとき
y = 0→π/4 であり、
x = tan y,
dx/dy = 1/(cos y)^2 である。
これらを使って、
∫[0,1] (arctan x) dx = ∫ y dx = ∫ y (dx/dy)dy = [ yx ] - ∫ x dy
= [ y tan y ]_(y=0,π/4) - ∫[0,π/4] (tan y) dy
= { π/4 - 0 } + ∫[0,π/4] (-sin y)/(cos y) dy
= π/4 + [ log(cos y) ]_(y=0,π/4)
= π/4 + { log(1/√2) - log(1) }
= π/4 - (1/2)(log 2).