画像のrの式は図からどのような過程を経て導かれたのでしょうか？

画像のrの式は図からどのような過程を経て導かれたのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 反時計回りの場合は、dz/dt = iz。
  この微分方程式を解けば、z = e^(it) となる。
  に関して、dz/dt = izって既に微分されている形ですが、この形からさらに微分するとz = e^(it)になるのですか？
  dz/dt = izからz = e^(it)になるまでをもう少し詳しく教えてください。

    補足日時：2020/04/09 10:12

• ありものがたりさん、ありがとうございます。
  お聞きしたいことが2つ、あるのですが、
  「反時計回りの場合は、dz/dt = iz。
  この微分方程式を解けば、z = e^(it) となる。」
  に関して、dz/dt = izって既に微分されている形ですが、この形からさらに微分するとz = e^(it)になるのですか？
  dz/dt = izからz = e^(it)になるまでをもう少し詳しく教えてください。
  また、画像のどこがzを表しているのでしょうか？

    補足日時：2020/04/09 13:13

• zが円上の座標を表しているとわかりました。
  そして、画像では、円上のzから中心点のz0を引くと単位円であるため1になりますがそのあとe^iθになっています。複素数平面では円上の座標zはz=r(cosθ+isinθ)となり、このrは1なので、z=(cosθ+isinθ)となり、
  (cosθ+isinθ)はオイラーよりe^iθとも置けるためz=e^iθとできた。とまではわかりますか、なぜz-z0がe^iθと置けるのかはわかりません。

  
    補足日時：2020/04/10 00:14

• z-z0がe^iθと置けるまでの過程の式を教えていただけないでしょうか？

    補足日時：2020/04/10 01:51

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/10 03:59

＞なんにしても単位円の半径1がなぜe^iθになるのか知りたいです

これもか。 1 が e^(iθ) になったわけじゃない。
単位円の半径 1 になるのは e^C。 これは No.4 No.5 に書いた。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/10 03:53

だから、z0 はどこから降って湧いた？

そんなもん要らん。
No.2 No.4 No.7 で ok.

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/10 00:36

あー、 |z| = 1 じゃなく |z| = r だったか。

r = 1 の場合を No.2 〜 No.5 で解いて、
最後に r 倍に相似拡大してね。

cosθ, sinθ とか、z0 とか、どこから湧いて出たんじゃい？
そんなの要らんよ。

この回答へのお礼

わかりにくくなってしまいすいません。
なんにしても単位円の半径1がなぜe^iθになるのか知りたいです

お礼日時：2020/04/10 01:34

No.6 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2020/04/10 00:12

うーむ。

すごい、ひたすらすごい（笑）。他の留数等に関連する質問とのあまりのギャップに、目が点になる。

> あの、ネイピア数eは指数が定数であれば1になるのでしょうか？

　これまたすごい。ものすごい。さすがのコロナも吹っ飛ぶ。明日東京の感染者数も減るのではないかと思われる。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/10 00:01

＞ネイピア数eは指数が定数であれば1になるのでしょうか？

そこからですか？
ネイピア定数 e の値は、1 ではなく ≒ 2.718281828… です。
C が定数のとき、e^C も定数になります。
log(z) = it+C より z = (e^C) e^(it) ですが、
t = 0 のとき z = 1 であるような場合に(限って)は、
1 = (e^C) e^0 より e^C = 1。 よって z = 1 e^(it) になります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/09 23:12

＞画像のどこがzを表しているのでしょうか？

写真の下の図を見てそれが解らないようなら、
この問題はあきらめたほうがいいかもしれません。

＞dz/dt = izって既に微分されている形ですが、この形からさらに微分するとz = e^(it)になるのですか？

微分方程式を解くには、微分ではなく積分をします。
どうやって積分したらいいかは、微分方程式ごとに様々で、そこが工夫のしどころです。
dz/dt = iz を変形して (1/z)(dz/dt) = i. これを t で積分すると、log(z) = it+C (Cは定数).
変形して、z = A e^(it) (Aは定数。 A = e^C) となります。
今回の問題では、t = 0 のとき z = 1 としている(におそらく違いない)ので、A = 1 です。
よって z = e^(it).

この回答へのお礼

zが円上の座標を表しているとわかりました。
あの、ネイピア数eは指数が定数であれば1になるのでしょうか？

お礼日時：2020/04/09 23:18

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/09 10:25

＞なぜ|dz/dt|が1とわかったのでしょうか？

冒頭で、
＞点 z が単位円周上を、時刻 t に対して一定の速さ 1 で反時計回りに回転する
と仮定したからです。その場合に、θ = t になります。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/09 08:12

やり方はいろいろあるけれど...

写真の図には dz が登場しているから、これを使って考えたのではないかと思う。
点 z が単位円周上を、時刻 t に対して一定の速さ 1 で反時計回りに回転する
状況を考えてみよう。
単位円を表す式は |z|=1。両辺を２乗してから微分すると、2z・dz/dt = 0。
これは、z と dz/dt が直交することを示している。
また |dz/dt| = 1 なので、上と合わせて dz/dt = ±iz だが、
反時計回りの場合は、dz/dt = iz。
この微分方程式を解けば、z = e^(it) となる。
θ = t であることは、図から把握しよう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、なぜ|dz/dt|が1とわかったのでしょうか？

お礼日時：2020/04/09 09:52

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/04/09 07:00

オイラーの公式. 実数 θ に対し e^ iθ = cosθ + isinθ

ｚ＝ｒ e^ iθ =rcosθ + rsinθ i
|z|＝ｒ√(cos²θ＋sin²θ)=r

この回答へのお礼

ありがとうございます。
konjiiさんの解答のおかげで|z|が1であるとわかりました。

お礼日時：2020/04/09 10:14