∮(-∞→∞)dx/(4+x^2) これの途中式と解答教えてください！

∮(-∞→∞)dx/(4+x^2)
これの途中式と解答教えてください！

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/06 18:57

x = 2t と置いて、

I = ∫[-∞,∞] dx/(4+x^2) = ∫[-∞,∞] 2dt/(4+4t^2) = (1/2)∫[-∞,∞] dt/(1+t^2).

∫dx/(1+x^2) = (tan^-1)x は、これが tan^-1 の定義で
ここから tan の定義を導くという流儀もあり、その流儀なら、
∫[-∞,∞] dt/(1+t^2) = lim[a→-∞,b→∞] ∫[a,b] dt/(1+t^2)
= lim[a→-∞,b→∞]{ (tan^-1)b - (tan^-1)a }
= π/2 - (-π/2).

高校流なら、t = tanθ で置換積分して
∫[-∞,∞]{ 1/(1+t^2) }dt = ∫[-π/2,π/2]{ 1/(1+(tanθ)^2) }{ 1/(cosθ)^2 }dθ
= ∫[-π/2,π/2]dθ　= π.

いずれにせよ、I = (1/2)∫[-∞,∞] dt/(1+t^2) = π/2.

No.1 回答者： I_am_a_average_man 回答日時： 2020/06/06 17:09

ヒント

∫(-∞→∞)dx/(x^2＋4)
lim[t→∞]∫(-t→t)dx/(x^2＋4)
＝lim[t→∞](1/2)Arctan(t/2)-(1/2)Arctan(-t/2)
＝π/2

あくまでどういう計算をしているのか書いているだけです。

もちろんこの解答を丸写ししたら丸はもらえないので、必要な説明はあなたが補うこと。