lim(n→∞)an=－∞ の時、lim(n→∞)1/an＝０ であることの証明

証明内でわからないことがあったので教えてください。

証明
任意に ε > 0 をとる。
L＝1/ε とするとlim(n→∞)an = −∞ の定義から
∃N ∈ N s.t. ∀n ≥ N, an < −L
よって、ーε=－1/L < 1/an <0
以上より、lim(n→∞)1/an＝０

L＝1/ε と置くことは、どういった経緯で思いついたのでしょうか？
証明自体は理解できるのですが、おそらく自分が証明するとなると、
L＝1/εと置くことは思いつかないと思うんです。

また、
ーε=－1/L < 1/an <0
よって、lim(n→∞)1/an＝０
となることは、はさみうちですか？

あと、
1/an <0 とありますが、これは全てのｎではなく、∀n ≥ N の時の話ですよね？

わかる方いらっしゃいましたら、教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/23 06:10

Na=(全自然数の集合)とする

lim(n→∞)a_n=−∞ の定義

∀L>0→∃N∈Na s.t.(∀n>N→a_n<−L)…(1)

の時

lim(n→∞)1/a_n=0 の定義

∀ε>0→∃N∈Na s.t.(∀n>N→|1/a_n|<ε)…(2)

である事を示すのだから

|1/a_n|<εを示すのだから
1/ε<|a_n|を示すのだから
a_n<-L<0だから
|a_n|=-a_nだから
1/ε<-a_n を示すのだから
a_n<-1/ε を示すのだから
a_n<−L　だから
L=1/εと置けばよいとわかる

∀ε>0に対して
L=1/εとするとL>0だから(1)から
∃N∈Na s.t.(∀n>N→a_n<−L)
a_n<-L=-1/εだから
1/ε<-a_n
0<1/ε<-a_nだから
0<1/ε<-a_n=|a_n|
1/ε<|a_n|
∴
|1/a_n|<ε
だから
(2)が示されたから

lim(n→∞)1/a_n=0