2変数関数の鞍点の判定について

2変数関数fの鞍点の判定は
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~miyachi/courses/ …
によると
fxxfyy-fxy<0
のようですが、その証明が載っているものを教えてください。なるべく、入手しやすいものをお
願いします。

杉浦、解析入門Ⅰではそこまで言及していませんでした（情けないことに、そこの極大極小の証
明も理解できない身ではありますが）。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/26 17:00

f を停留点中心に冪級数展開すると、

f(p+u,q+v) = f(p,q) + fxx(p,q)u^2 + 2fxy(p,q)uv + fyy(p,q)v^2 + o(r^2),　r = √(u^2,v^2)
になる。 (x,y) = (p,q) が f(x,y) の停留点なら、 fx(p,q) = fy(p,q) = 0 だからだ。

r が十分小さいときの f(p+u,q+v) - f(p,q) の符合は、
2次項 fxx(p,q)u^2 + 2fxy(p,q)uv + fyy(p,q)v^2 の符合で決まる。
r を十分小さくとれば、高次項の大きさ | o(r^2) | は | fxx(p,q)u^2 + 2fxy(p,q)uv + fyy(p,q)v^2 |
よりも小さくできるため、 f(p+u,q+v) - f(p,q) の符合は 2次項の符合と一致するからだ。

2次項は、行列 M =
　　fxx(p,q)　　fxy(p,q)
　　fxy(p,q)　　fyy(p,q)
を係数に持つ 2次形式 (u,v) M (u,v)^T だから、その符合は M の固有値で決まることになる。
M は対称行列なので、固有値は必ず実数だが、
[1] 固有値が負数と負数なら、(x,y) = (p,q) は極大点。
[2] 固有値が正数と正数なら、(x,y) = (p,q) は極小点。
[3] 固有値が正数と負数なら、(x,y) = (p,q) は鞍点。
[4] 固有値が 0 を含めば、 3次項以上の高次項も見なければ分類は判らない。

M の固有方程式は λ^2 - { fxx(p,q) + fyy(p,q) }λ + { fxx(p,q) fyy(p,q) - fxy(p,q)^2} = 0
であるため、上記[1]〜[4]の分類は
[1] fxx fyy - fxy^2 > 0 かつ fxx + fyy < 0 のとき極大点。
[2] fxx fyy - fxy^2 > 0 かつ fxx + fyy > 0 のとき極小点。
[3] fxx fyy - fxy^2 < 0 のとき鞍点。
[4] fxx fyy - fxy^2 = 0 のときは更に情報が必要。
とも書ける。

fxx fyy - fxy^2 > 0 のとき、 fxx fyy > fxy^2 ≧ 0 で fxx と fyy は同符合だから、
[1] fxx fyy - fxy^2 > 0 かつ fxx < 0 のとき極大点。
[2] fxx fyy - fxy^2 > 0 かつ fxx > 0 のとき極小点。
と書いてもいい。

この回答へのお礼

早速ありがとうございます。
二次形式を標準形にするということですね。当方、電気技術なので微積ばかりで
線形代数を軽んじてきたので、完全に理解できませんが。

お礼日時：2020/07/26 19:08