素数の平方根は無理数である。

このことを証明せよとのことなのですが、解答みてもまったくわかりません。わかりやすく、説明お願いいたします、

No.1 ベストアンサー 回答者： gosuke32 回答日時： 2005/01/24 00:16

「素数の平方根は無理数である。

」を証明するよりも、「素数の平方根は有理数である。」が成立しないことを証明すればよいのではないですか？

任意の素数Pに対しその平方根を√P=B/A（AとBは互いに素）と仮定すると
P=√P×√P=B^2/A^2
AとBは互いに素であるから、B^2/A^2は割り切れないので整数にならない。
よって成立しない（素数Pは整数だから）。
したがって、「素数の平方根は無理数」となる。

こんなもんでどーでしょうか？

No.3 回答者： yoikagari 回答日時： 2005/01/24 02:43

典型的な背理法の応用問題です。

素数pの平方根√pが有理数と仮定します。

√p=a/b
aとbは互いに素な自然数と置く。…※
p*b^2=a^2
したがって、a^2は素数pで割り切れるのでaもpで割り切れる。…○
よってa=pcとかける
pb^2=(pc)^2=p^2c^2
ゆえにb^2=pc^2
したがってb^2は素数pで割り切れるのでbもpで割り切れる。…◎

○と◎よりaとbは共にpで割り切れるのでaとbは公約数pを持つことになるが、これは※のaとbは互いに素な自然数という仮定に反する。

したがって、√pは無理数である。

No.2 回答者： proto 回答日時： 2005/01/24 00:29

回答が手元にあるなら

どこまで理解できて、どこで突っかかってるのか
書いて貰うと答えやすいですが

基本的に『√2が無理数であることの証明』と同じ議論で証明できます
No.1の方が答えているとおり背理法で証明しますが
a/bが整数でない時、a^2/b^2が整数でない事をもう少しちゃんと示した方がいいように思います

URLの先を読んで、理論の道筋を理解して
例えば√4で同じ証明をしようとしたときに
どこで違いが出てくるのか
等を考えれば、理解に結びつくかも知れません

参考URL：http://www.tcp-ip.or.jp/~takahara/rt2proof.htm