三乗根を含んだ最小多項式

sqrt(7)+(2sqrt(3)+3sqrt(2))^(1/3)+(2sqrt(3)-3sqrt(2))^(1/3)
の最小多項式って、どうやって求めたらいいのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： xixixi 回答日時： 2020/08/25 01:16

少々骨がおれますね。

体の代数拡大については知っているものすれば先ずつぎのようにできます。
問題になっている数をαとします。
α = √7 + (3√2 + 2√3)^(1/3) + (3√2 - 2√3)^(1/3)

ω=(-1 + √3 i)/2 を1の原始3乗根として，
α' = a√7 + (b 3√2 + c 2√3)^(1/3) ω^i + (b 3√2 - c 2√3)^(1/3) ω^j
（a, b, c = ±1, i, j = 0,1,2) ・・・①
という形の数を考えます。
すると，f(x)を有理数を係数とする多項式とするとき，
f(α) = 0 なら，
f(α') = 0
が必ず成り立ちます。( α' は有理数体上でαと共役だから)
①において，(b,c) = (1,-1)と(-1,1)が表すα'は同じなので，相異なるα'は
α'' = a√7 + ( 3√2 + 2√3)^(1/3) ω^i + ( 3√2 - 2√3)^(1/3) ω^j
　　( a = ±1, i, j = 0,1,2）18個
α''' = a√7 + ( -3√2 - 2√3)^(1/3) ω^i + (- 3√2 + 2√3)^(1/3) ω^j
　　( a = ±1, i, j = 0,1,2）18個
であり，合わせると全部で36個です。
これら36個がαに共役な数の全部で，これらを根とする36次の多項式
∏ _[a = ±1, i, j = 0,1,2] (x - α'')(x - α''')
をF(x) とすると，これがαの最小多項式を与えます。
実際，①より，最小多項式は F(x) で割り切れねばならず，F(x) は作り方から係数は有理数となります。

理論的にはこのようになりますが，36次の多項式の具体的な表示はちょっと計算できません。36次ということはわかりました。

もうすこし具体的な計算はつぎのようにしてみました。
σ = (3√2 + 2√3)^(1/3)
とおくと，
1/σ = ( (3√2 - 2√3) / 6 )^(1/3)
となります。
まず
τ = (3√2 + 2√3)^(1/3) + (3√2 - 2√3)^(1/3) = σ+ 6^(1/3) / σ
とおいて，τの最小多項式を求めます。(τ = α - √7）
τ^3 = σ^3 + 6 /σ^3 + 3×6^(1/3) ( σ+ 6^(1/3) / σ )
　　　= 6 √2 + 3×6^(1/3) τ
∴　 3×6^(1/3) τ = τ^3 - 6 √2・・・②

両辺を３乗して整理すると
( 3^2×2 τ^6 + 3^3×2^4 ) √2 = τ^9 + 3^3×2τ^3
両辺を２乗して整理すると，
τ^18 + ( 3^3×4 - 3^4×2^3)τ^12 + (3^6×4 - 2^7×3^5)τ^6 - 3^6×2^9 = 0
この左辺のτを x に置き換えた18次の多項式を g(x) とおくと，
g(τ) = 0 ・・・③

この g(x) を用いて，
G(x) = g(x + √7) g(x - √7)
とおくと，これが求めるものになります。
実際，
g(x + √7) = p(x) + q(x) √7　（p(x)とq(x)は整数を係数とする多項式）・・・④
とおくと，
g(x - √7) = p(x) - q(x) √7
となります。（なぜなら，④で左辺を展開するとき√7 について √7^2 = 7 という等式しか使っていないから。）
G(x) = g(x + √7) g(x - √7) = p(x)^2 - q(x)^2 × 7・・・⑤
となるので，G(x)は最高次の係数が1で整数を係数とする36次の多項式です。
α = √7 + τ　だから，③より
G(α) = g(α+ √7) g( α- √7) = g(α+ √7) g(τ) = 0

先に示したように最小多項式の次数は36でしたから，G(x)がαの最小多項式になることがわかります。
G(x) = F(x) 。
⑤以上の具体的表示はご容赦ください。

この回答へのお礼

丁寧に教えていただいてありがとうございました、

お礼日時：2020/08/28 16:05

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/24 08:35

X = sqrt(7) + (2sqrt(3)+3sqrt(2))^(1/3) + (2sqrt(3)-3sqrt(2))^(1/3)

を
X = A + B + C,
A^2 = 7,
B^3 = D + E,
C^3 = D - E,
D^2 = 12,
E^2 = 18.
と分解して
D,E,B,C,A,X の順に消去多項式を構成してゆけば、
X の消去多項式はすぐ作れる。
それが最小多項式かどうかは、
得られた式の因数分解を見て確認する。

この回答へのお礼

勉強します・・・。

お礼日時：2020/08/28 00:25

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/24 04:09

sqrt(7), (2sqrt(3)+3sqrt(2))^(1/3), (2sqrt(3)-3sqrt(2))^(1/3) の 3つの最小多項式からいろいろ計算する... ところで

最小多項式がそれぞれ f(x), g(x) であるような α, β
に対して α+β の最小多項式をどう求めればいいか, さすがにわかりますよね?

この回答へのお礼

勉強します・・・・。

お礼日時：2020/08/28 00:25