ローレンツ変換 は 計量テンソルDiag(-1,1,1,1)から導けますか？

ローレンツ変換　を　ミンコフスキー計量＝Diag(-1,1,1,1)から導くことが、できますか？
もしできるなら、その計算方法を　アドバイス下さい。

No.5 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2020/08/31 20:32

> そもそも、こう考えてるのが間違いですか？

数学的には「回転」との共通点は多いので、そう思っても良いでしょう。双極的回転という言い方をする事もありますからね。
物理的には虚数角度って何だ、みたいな話が出てこない事もないので、そう考えるのが分かりやすいかどうかは人それぞれだとは思いますが。個人的には類似性がある事くらいは意識しておいた方が分かりやすいと思ってはいます。双子のパラドックスとかも、ユークリッド空間での"パラドックス"に読みかえられたりしますしね。


#3さんへのお礼について、世界距離が不変量である事を前提にするのなら、導出の仕方は色々あるでしょうが、例えば次のように。

簡単のためy,zの項と光速度cは省略しますが、
t'=At+Bxとx'=Ct+Dxを
t'^2-x'^2=t^2-x^2
に代入したものが任意のt,xで成り立つので、係数を比較すると
Ａ^2-C^2=1
AB-CD=0
B^2-D^2=-1
が要求されます。
時間反転、空間反転は考えない(A>0,D>0)事にすると、お書きになっているような双極関数を使った形の変換になる事が言えます。

細かい事を気にされるのであれば、最初に線型変換としてるけど非線形な変換はないのかという話になるかもしれませんが。
具体的な証明はすぐ思い出せませんが、(平行移動を除くと=原点を固定するものに限ると)線型変換しかないという事も証明はできたはず。

No.6 回答者： eatern27 回答日時： 2020/08/31 20:34

かきわすれてました。

誤植だと思ってスルーしてましたが、全部間違っているので一応言っておくと(コピーしてるからってだけかもしれませんが)、
非対角項のsinhの係数は同符号ですよ。(回転行列のsinの係数は異符号ですが)

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2020/08/30 11:40

ますます質問の意図が分からなくなりました。

> 先に書いたローレンツ変換の式が成り立つ時空の計量テンソルの求め方を　お教え下さい。

「ローレンツ変換の式が成り立つ」の意味はなんでしょうか。
ローレンツ変換はベクトル空間でいう基底の変換行列の1つという事を踏まえると
①お示しの行列がある基底(正規直交基底かどうかは不明)間の変換行列になっている
②お示しの行列が"正規直交基底"間(慣性系間)の変換行列になっている
こんな所でしょうか。

①の場合、ある行列が基底の変換行列として適切であるかは行列式が0であるかどうかという話になります。お示しの行列は行列式が1なので変換行列として問題はありません。が、それでおしまいです。空間の構造(特に内積)によって行列式の値が変わる事はないので、「ローレンツ変換の式が成り立つ時空」という風に「ローレンツ変換の式が成り立つ」が「時空」の意味を説明する形にはなりませんし、計量テンソルがいくらという話も出てきません。

②の場合、最終的に計量テンソルを求めようとしているという事は、具体的にどんな内積が定義されているのかは知らないという前提で話を始めようとしているはずです。にも関わらず正規直交基底間の変換行列である事は知っているという奇妙な状況を考えないといけません。
座標変換前後の基底が正規直交基底である事は当然知っているはずで、それは計量テンソル(基底ベクトル同士の内積を並べたもの)も既知であるはずです。


今回も上記とは別の意味かもしれませんが、
計量テンソル(基底ベクトル同士の内積)という、他の基底とは無関係に決まるものを、
変換行列(他の基底との関係)をから求めようとするのがどんな時にあり得るのか想像できません。

この回答へのお礼

＞「ローレンツ変換の式が成り立つ」の意味はなんでしょうか
（ガリレイ変換は成り立たず）ローレンツ変換が成り立つ　というつもりです。

ミンコフスキー時空で
(ct'　　（cosh(φ)　-sinh(φ)　 ０　　０　　(ct
x' 　= 　sinh(φ)　 cosh(φ)　 ０　　０　　　ｘ
y'　　　　０　　　　０　　　　１　　０　　　ｙ
z'）　　　０　　　　０　　　　０　　１）　　ｚ）
という変換は、
時空がユークリッド空間であれば
(ct'　　（cos(φ)　-sin(φ)　 　０　　０　　(ct
x' 　= 　sin(φ)　 cos(φ)　 　０　　０　　　ｘ
y'　　　　０　　　　０　　　　１　　０　　　ｙ
z'）　　　０　　　　０　　　　０　　１）　　ｚ）
という回転変換に対応する
と思っているのですが、
そもそも、こう考えてるのが間違いですか？

お礼日時：2020/08/31 10:00

No.3 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/08/30 08:53

ミンコフスキー時空での内積の定義と言ってもいいですが、世界距離sを書くと

s^2=－c(t1－t2)^2 + (x1－x2)^2 +・・・（ローレンツ変換の定義）
これを　s^2=η(μν)Δx^μ Δx^ν　　( )は下付、^は上付き添え字を表すとします。
これよりdiag(-1,1,1,1)となります（ならざるを得ないと言った方がいいかもです）。
結局、計量は内積と結びついており、必然的に上記のようになります。

ところで、現在は使われなくなりましたが、虚時間x^0=ict を定義して扱う方法もあり、
そのときはdiag(1,1,1,1)となります。

この回答へのお礼

疑問が明確になりました、ありがとうございます。
僕の疑問は、
s^2=－c(t1－t2)^2 + (x1－x2)^2 +・・・というローレンツ変換の定義から
どう変形すれば、

（cosh(φ)　-sinh(φ)　 　０　　０　　
　sinh(φ)　 cosh(φ)　 　０　　０　　　
　　０　　　　０　　　　１　　０　　
　　０　　　　０　　　　０　　１）　
という行列（coshとかで書かなくて普通の書き方でもよい）
が、出てくるか？
その導出方法がわからないのです。

お礼日時：2020/08/31 10:12

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2020/08/29 21:58

方向性としては

・お示しの行列が「ローレンツ変換」である事を示したい
・全ての「ローレンツ変換」がお示しの形で表せる事を示したい
のどちらかを聞きたいのだろうと思いますが、どちらてしょう？(もしくはどちらでもない？)

前者の意味なら言っている事は正しいですが、具体的な証明となると「ローレンツ変換」を貴方がどのように理解(定義)しているのかで変わってしまいます。
※正確な定義か出来なくても漠然とどんなものだと思っているのかでも十分です

後者の意味なら、y方向やz方向へのブーストが反例になるはずです。
(素直に読めばこっちかな、と思うのですが、こういう例がある事はご存知だと思うので、貴方が求めている回答とは違う気もしています)


何を聞きたいのか漠然としていいるのでそれをハッキリさせて欲しい所ですが、どういう書き方をしたら良いか分からない場合には
何を考えていて思った疑問であるか
というような質問の背景を書いて貰うと推測できるかもしれません。

この回答へのお礼

お手数をおかけして、すみません。
どちらでも、ありません。（前者は、理解しています）
うまく説明できないので、恐縮ですが、
質問を、ちょっと変えます。

先に書いたローレンツ変換の式が成り立つ時空の
計量テンソルの求め方を　お教え下さい。

ひょっとして、
計量テンソルｇ＝Diag(a,b,1,1)と置いて
左辺の gでの内積＝右辺の gでの内積　が成り立つ a,b
を求める
でOKでしょうか？

お礼日時：2020/08/30 01:17

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2020/08/29 10:45

何を導出したいのかもっと具体的に書いて下さい。

「ローレンツ変換」はただの用語なのでこれ自体は導出するような性質のものではありません。
「○○がローレンツ変換である事」とか「ローレンツ変換が○○の性質を持つ事」など。

また「ローレンツ変換」は文脈によって定義が違うので、どういう意味で使っているのかも必要になるかもしれません。(定義によっては「定義です」で終わりそうな話をしていそうな気がします)

この回答へのお礼

すいません。以下のローレンツ変換の式（行列）が
「ミンコフスキー計量」だけから導けるか
という意味です。

(ct'　　（cosh(φ)　-sinh(φ)　 ０　　０　　(ct
x' 　= 　sinh(φ)　 cosh(φ)　 ０　　０　　　ｘ
y'　　　　０　　　　０　　　　１　　０　　　ｙ
z'）　　　０　　　　０　　　　０　　１）　　ｚ）

お礼日時：2020/08/29 19:43