二次方程式の買いと係数の関係の応用

x^2+ax+b=0　の2解をα、βとしたとき、ｎを自然数として、
　　α^(1/ｎ）＋β^(1/ｎ)
の計算はｎ次方程式をとかないと、a,bでは表せないんでしょうか？
3の場合だけでも知りたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/30 16:57

x = α, β を解とする方程式として

x^2 + ax + b = 0 があるから、　　　←[0]
z = α^(1/3）, β^(1/3) を解とする方程式の一例として
(z^3)^2 + a(z^3) + b = 0 がある。　　　←[1]
この方程式は、z = α, αω, αω^2, β, βω, βω^2
ただし ω は 1 の 3乗根で虚数のもの(2個あるが、どちらでもよい)を解に持つ。

z = α^(1/3）, β^(1/3) を解とする二次方程式を z^2 - sz + p = 0 と置くと、　　　←[2]
z = {α^(1/3）}ω, {β^(1/3)}ω を解とする二次方程式は z^2 - sωz + p/ω = 0,
z = {α^(1/3）}ω^2, {β^(1/3)}ω^2 を解とする二次方程式は z^2 - (s/ω)z + pω = 0
である。 これにより、[1] は
z^6 + az^3 + b = { z^2 - sz + p }{ z^2 - sωz + p/ω }{ z^2 - (s/ω)z + pω }
と因数分解され、右辺を展開整理すると
z^6 + az^3 + b = z^6 + { 3sp(ω+1) - 3spω - s^3 }z^3 + p^3
となる。 両辺の係数を比較して
a = 3sp - s^3,　　　←[3]
b = p^3.　　　　　←[4]
これを解いて s, p を求めれば、[2] における解と係数の関係から
s が問題の答えになる。

[4] より p がすぐに求まるから、それを [3] へ代入すれば、
s が満たすべき方程式 s^3 - 3{ b^(1/3) }s + a = 0 が得られる。　　　←[5]
[5] が、質問文にある n次方程式(ここでは n=3)なのだと思う。
[1] は 2n次方程式だからね。
n=3 なら、三次方程式の解公式を使って [5] を解くことはできるが、
解公式を使うと、式を整理して結局 s = α^(1/3） + β^(1/3) になるだけだ。

ただし、a, b の値が具体的に与えられている場合には、
[5] が直観と因数定理によって解けるような方程式であれば
３乗根が式に現れないような形で s を表示することができるようになる。
例えば、[0] が x^2 - 2x - 1/27 = 0 の場合、
[5] は s^3 + s - 2 = 0 となり、その実数解は s = 1 (のみ)である。

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます。
勉強になりました。

お礼日時：2020/09/01 00:01

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/08/30 08:36

「n次方程式をとかないと」という意味が判らないが、α≦βとすれば、α={-b+√(b²-4ac)}/2a、β={-b-√(b²-4ac)}/2aとなるから、

α^(1/n)+β(1/n)=[{-b+√(b²-4ac)}/2a]^(1/n)+[{-b-√(b²-4ac)}/2a]^(1/n)

と書ける。よって、n次方程式を解く必要なんて全くない。

何をしたいの？

この回答へのお礼

そうなんですけどね。
これじゃー・・・・。

お礼日時：2020/09/01 00:02

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/30 06:50

x^2+ax+b=(x-α)(x-β)=x^2-(α+β)+αβ

α+β=-a , αβ=b β=b/α (α≠０)　　α=b/β
α+b/α=-a
α^2+aα+b=0
α=1/2*-a±√(a^2-4b)

b/β+β=-a
β^2+aβ+b=0
β=1/2*-a±√(a^2-4b)

α^(1/ｎ）＋β^(1/ｎ)=(1/2*(-a+√(a^2-4b)))^(1/n)+(1/2*(-a-√(a^2-4b)))^(1/n)

この回答へのお礼

そうなんですけどね。
これじゃー・・・・。

お礼日時：2020/09/01 00:02