aを実数の定数とする。xの方程式 (x²＋2x)²ーa(x²＋2x)ー6＝0 の異なる実数解の個数を

aを実数の定数とする。xの方程式
(x²＋2x)²ーa(x²＋2x)ー6＝0
の異なる実数解の個数をaの値で分類して求めよ。

以上が(3)の問題文です。
質問は、解答で　軸:a/2＞-1　と書かれている理由がわからないということです。
（1）で　t＝x²＋2x　とおいて、t≧-1　と求めましたが、これも関係あるのでしょうか。

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2023/02/16 18:52

グラフにあるように、放物線 y=x²+2x と直線 y=t が共有点をもつのは、

ｔの値が（1）で求めた t≧-1の範囲にあるときです。

t²－at－6=0…①
①は異なる２つの実数解を持ちますが、
その2つの解のそれぞれが－１より大きいか小さいかにより、
グラフの関係が②の3通りに場合分けされます。

そこで、①の２つの実数解について調べるために、
f(t)=t²－at－6 とおいて、y=f(t) のグラフを考えます。
ｔ軸との交点がー１より大きいか小さいかを知りたいので、
f(-1) の符号で分類します。

質問の（ⅱ）の部分について
y=f(t) のグラフは下に凸の放物線でｔ軸と2点で交わっていますが、
f(-1)>0 という条件だけでは、
ｔ軸との2つの交点ともー１より大きい場合のグラフと
ｔ軸との2つの交点ともー１より小さい場合のグラフが
考えられます。
それを区別するために軸 a/2>-1 を確認しています。
もしかすると、f(0)=-6<0 なので不必要と思われたのかも
しれませんが、軸の代わりにf(0)の確認でもかまいません。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/14 15:46

(i)

f(-1)=0となるのは
a=5のときであり,
f(t)
=t^2-5t-6
=(t+1)(t-6)
だからf(t)=0の解はt=-1,t=6の2つ
x^2+2x=t=-1のxの解は1個
x^2+2x=t=6のxの解は2個
だから
f(x^2+2x)=0の
実数解は1+2=3個

(ii)
f(-1)>0となるのは
a>5のときであり

a>5
↓両辺を2で割ると
a/2>5/2
↓5/2>-1だから
∴
-1<a/2
f(-1)>0>f(a/2)
だから中間値の定理から
-1<t1<a/2
f(t1)=0となるt1がある
f(a+1)=a-5>0
a/2<a+1
f(a/2)<0<f(a+1)
だから中間値の定理から
a/2<t2<a+1
f(t2)=0となるt2がある
だからf(t)=0の解はt=t1,t=t2の2つ
-1<t1<a/2<t2<a+1
x^2+2x=t1>-1の解は2個
x^2+2x=t2>-1の解は2個
だから
f(x^2+2x)=0の
実数解は2+2=4個

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/14 13:53

もとの方程式は x の 4次方程式です。

一般の 4次方程式の解の個数なんて、気が遠くなるような場合分けですが、
この問題は、t=x^2+x, t^2-at-6=0 と 2個の 2次方程式に分解されています。
t の値が異なれば共通の x が現れることは無いので、
a で場合分けした t^2-at-6=0 の解 t の個数と
t で場合分けした t=x^2+x の解 x の個数から
もとの 4次方程式の解 x の個数を勘定することができます。

(1)での考察から、
t>-1 のとき t の値 1個に対して x の値 2個、
t=-1 のとき　　　　　　　　　　x の値 1個、
t<-1 のとき t の値 1個に対して x の値 0個が対応することが判ります。

あとは、t^2-at-6=0 が t>-1 と t=-1 の各範囲に何個の解を持つか
を a の値で分類すればいいですね。
ここで行き着いた問題は、2次関数と 2次方程式の範囲では
標準的な問題です。一度くらい、問題集で類題を見たことないですか？

g(t)=t^2-at-6 と置きましょう。
g(t)=0 が t=-1 に解を持つのは、g(-1)=0 すなわち a=5 のときです。
g(t)=0 が t>-1 に持つ解の個数は...
g(t)=0 が t>-1 に解を 1 個持つのは、
　　　　　g(-1)≦0 のとき、
g(t)=0 が t>-1 に解を 2 個持つのは、
　　　　　g(t) の判別式が ≧0 であり、かつ
　　　　　g(-1)>0 であり、かつ
　　　　　g(t) の軸が >-1 のときです。

g(t) の軸と -1 を比較する意味は、
　　　　　g(t) の判別式が ≧0 であり、かつ
　　　　　g(-1)>0 であり、かつ
　　　　　g(t) の軸が <-1 のとき
g(t)=0 の解が t<-1 の範囲に 2個になることと
上記を見比べれば解るのではないでしょうか。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/14 11:12

(ii)

f(-1)>0となるのは
a>5のときであり
a>5
↓両辺を2で割ると
a/2>5/2
↓5/2>-1だから
∴
a/2>-1