大学数学 極限 数学的帰納法

１．全ての自然数nについて　e^x > x^n+1/(n+1)！（x≧0）であることを数学的帰納法を用いて示せ。

ちなみに前問でe^x>x^2/2を示しました。

２．各自然数nについてlim x→∞x^n/e^x=０を示せ。ただしロピタルの定理を用いてはならない。


以上の２問を教えていただけますでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2020/09/09 17:18

１．

n＝1のとき
e^x＞x^2/2 であるが、これは成立することは前問で示した。

n＝kのとき e^x＞{x^(k+1)}/(k+1)！であるならば、・・・①
n＝k+1のとき e^x＞{x^(k+2)}/(k+2)！が成立するかを調べる。

f(x)＝e^x－{x^(k+2)}/(k+2)！とおくと、
f'(x)＝e^x－x^(k+1)／(k+1)！であり、これはn＝kの時の式に他ならない。そして、①の仮定により、f'(x)＞0のはずなので、f(x)は単調増加であり、f(0)＝e^0－0＝1＞0
よって、全ての自然数nについて、e^x ＞ {x^(n+1)}/(n+1)！（x≧0）であることが示された。

２．
e^x ＞ {x^(n+1)}/(n+1)！より、両辺の逆数を取って
0＜ 1／e^x ＜ (n+1)！／{x^(n+1)}
x^n(＞0)を各々にかけて
0＜x^n／e^x＜{(x^n)・(n+1)！}／{x^(n+1)}＝(n+1)！／x
x→∞のときは (n+1)！／x→0になるので、挟み撃ちの原理により、lim(x→∞) x^n/e^x＝0 が示された。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/09 17:47

←No.1 補足

1.
e^x をマクローリン展開すれば e^x = Σ[k=0→∞] (x^k)/k! であり、
右辺の級数は、収束半径 ∞ で広義一様収束する。
Σ の各項は x≧0 のとき正である。 よって、e^x > (x^k)/k。
k = n+1 のとき e^x > (x^(n+1))/(n+1)! となる。
こうやれば、チマチマ帰納法を使う必要はない。
やりたければ、帰納法でやればよいが。

2.
同様に k = n のとき e^x > (x^n)/n! なので、
0 < (x^n)/e^n < 1/n! である。
各辺の n→∞ の極限をとれば、
0 ≦ lim[n→∞] (x^n)/e^n ≦ lim[n→∞] 1/n! = 0.
ハサミウチの定理により
lim[n→∞] (x^n)/e^n = 0.

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/09 17:07

1. 2. を見れば、普通は e^x のマクローリン展開を使おうと思う。

わざわざロピタルの定理のようなものを使う理由はないが、
「数学的帰納法を用いて示せ」「ただしロピタルの定理を用いてはならない」
などの指定は、あまりにセンスが無くて出題者の良識を疑う。
朱に交わると紅くなると言う。馬鹿な教授と関わりあって、
媚びて単位を貰おうと思ってはいけない。信念と矜持を以って、
その講座は放棄し、来年別の講座をとろう。
出題内容の良否について、教務部と掛けあってもよいかもしれない。
大切なこと：「朱に交わると紅くなる」

この回答へのお礼

めっちゃ言いますねｗ

これは某大学の編入学試験の問題です。ここを受けるわけではないんですけどね。
マクローリン展開であればどう解答されますか？

お礼日時：2020/09/09 17:19