lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明

lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
「任意のn∈Nに対して、lim[x→+∞](x^n/e^x)=0　が成り立つことをTaylorの定理を用いずに示せ。」という問題です。Taylorの定理を使わない場合、どのように証明すればよろしいのでしょうか？
宜しくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： quadlike 回答日時： 2010/04/07 21:30

f(x)＝x^(n+1)/e^x (x＞0) を考える．

f ' (x)＝(x^n(n+1-x))/e^x
よりf(x)の最大値はf(n+1)＝((n+1)^(n+1))/e^(n+1)
そこで次の不等式が成り立つ．
0＜x^n/e^x＝(x^(n+1)/e^x)・(1/x)≦((n+1)^(n+1))/e^(n+1)・(1/x)
極限をとると，
lim[x→∞]((n+1)^(n+1))/e^(n+1)・(1/x)＝0
ハサミウチでlim[x→∞]x^n/e^x＝0

この回答へのお礼

大変わかりやすいご説明誠ににありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時：2010/04/08 16:29

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/04/07 21:17

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