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「整数aと整数bが互いに素」とは、いったいどういうことを意味するのでしょうか?

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A 回答 (3件)

【結論】


最大公約数が1であるとき、二つの整数は互いに素であるという。
【補足】
最大公約数(GCD:Greatest Common Divisor)とは、0ではない二つの整数に共通する約数のうち最大値をとるものを指します。
数学上では、二つの整数 a, b に対して、その最大公約数を『gcd(a, b)』と表記することが多い。
但し、一方が0である場合、gcd(a, 0)=a として、最大公約数を決めるものとします。
【性質】
ユークリッドの互除法などにより、互いに素な二つの整数 x, y に対して、ax+by=1 を満たす整数 a, b が存在することは保証される。
------
まあ、要は「整数aと整数bが互いに素」とは『整数aと整数bの最大公約数が1である』ということを意味しています。
それ以上でもそれ以下でもありません。

こんな回答で良かったのでしょうか?元予備校講師的には、通常これ以上は説明不要である、と考えているのですが、一方、環やイデアルと言った論点の参考にするには、あまりにも足りません。
その辺は何卒ご了承下さい。m(_ _)m

参考URLは百科事典ウィキペディア(Wikipedia)の整数のページです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0
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この回答へのお礼

非常に詳しい解説ありがとうございます!!
すっきりしました☆

ある大学の整数問題(整数係数n次方程式の有理数解)を解いていて、「一方が0のときはどう扱うのだろう...」と思い詰まっていたのです。gcd(a, 0)=aとするのですね☆

これで気になっていた問題が全て解けます。ありがとうございました!

お礼日時:2005/01/31 04:30

素数というものがあります。

素数とは、約数が1と、その数自身しかない数のことです。

例えば、2は、2と1でしか割る(÷)ことができません。3は、1と3でしか割ることができません。ですから、2や3は素数であると言えます。7や13や11なども同様です。
蛇足になりますが、有名なひっかけ問題に91があります。一見、素数のようですが、91は1と91、さらに7と13でも割れるので、素数ではありません。

さて、質問の回答になりますが、互いに素の「素」は素数のことです。つまり、「整数aと整数bが互いに素」とは、aもbも素数であるという意味です。
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互いに素とは、公約数が1のみであることです。



整数aの約数が整数bの約数ではなければ互いに素となるわけです。

具体的には
6の約数は2と3と6ですね。
13は2と3と6のどれでも割れないので、約数が重なりません。
この場合6と13は「互いに素」となります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
でも、6と13の約数には-1もありますよね?
「公約数が1のみ」という定義に反すると思うのですが...

お礼日時:2005/01/31 04:24

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Q「互いに素」の定義…「1と2は互いに素か」「1と1は互いに素か」の問い

「互いに素」の定義…「1と2は互いに素か」「1と1は互いに素か」の問いに答えられる形で
お世話になります。
標記の通りの質問です。
一方に1が含まれる自然数の組にも「互いに素」は言えるのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

互いに素 ⇔ 最大公約数が1
ですから、
メンバーに1が含まれていても、問題ありません。

Q互いに素とは?

・「1」と「1」
・「1」と「2」

これらは、互いに素なんでしょうか?

「二つの正の整数があって、最大公約数が1である場合に、その二つの数は互いに素である」という定義だと、上記の例は互いに素であることになると思いますが、あってますか?

「互いに素」っていうのは、ちょっと奇妙な日本語のように思うのですが、
もとは外国語にあった概念を翻訳したものなのでしょうか?
他の国ではどう表現するのでしょうか?

Aベストアンサー

互いに素で良いでしょう。

1は特殊な数ですが

たとえば√2が無理数であることの証明のときに
p/q と置いてpとqは互いに素である整数(もちろん0でない)
としますね。

Q互いに素であることの証明問題です

互いに素であることの証明問題です

a と b は2つの整数であるとします
今 a と bは互いに素であることが分かっているとして
a^n と b が互いに素であることを証明しなさい
(nは n>0 の整数)

という問題なのですが
互いに素になることは分かるのですが
証明をせよと言われるとどうしていいか分かりません
数学的帰納法を使えばいいのでしょうか??

お手数ですがお分かりになられる方
教えていただけませんか
お願いします

Aベストアンサー

おはようございます。

方針としては、帰納法ではなく「背理法」になると思います。
一度、a^nと bが互いに素ではないとして矛盾を引き出します。

・「互いに素ではない」ことを式でどう表すか?ですが、
言い換えれば「1ではない共通の約数をもつ」ということですから、
このことを式で表します。

・「aと bが互いに素である」ことを上記で記した式で考えると、
「共通の約数」に矛盾が生じます。

この方針で証明できると思います。

Q指定校推薦って?

大学を指定校推薦で受験したら、100%合格なのですか?不合格も十分に考えられますよね?
母と話をしていて意見が食い違ったので気になっています。
また高校によって違うと思いますが、成績が上位の生徒から指定校推薦って決めていくのですよね?どこの大学にも合格しなさそうな生徒のための制度と聞いた事があったので、気になります。大学受験ってそんなにあまいものだと思っていないので驚いています。
どなたか真実を教えて下さい。

Aベストアンサー

以下に書く内容はあくまで私の学校での話です。
ti-zuさんの学校と同じ仕掛けだとは思えませんので其の点注意してください。

私の学校では9月の終わりごろ指定校枠の一覧表が発表され、あとは各自担任に受験したい旨を伝えることによって校内選抜に参加できました。
ただ、3年になった春に一般受験でかつ現役合格は無理だと悟っていたので(私の努力不足ですが)、4月の面談で指定校を取りたいと担任に伝えてはいました。
そうすることで担任もほかの先生と情報交換ができますし、的確な受験指導(要するにうまいこと指定校を取らせてくれる)が受けられると思ったからです。
先生(担任・進路指導)にはどんどん相談したほうがいいですよ。
先生という人種に生徒から頼られて嫌な顔する人は滅多にいません。
もしti-zuさんが今春高3に進級し、指定校を取りたいのであれば春に担任と個人面談があると思いますから、其のときに申し出てみるのがいいと思います。

私の場合、欠席は1,2年合わせて5日、3年は2日くらいでした。
欠席は無いに越したことは無いんですが、風邪で年に数日休むことは普通の人間であればよくあることですので心配要らないと思います。
ただ、サボりだと先生に感づかれていたりすると不利でしょうね。
ちなみに停学などの処分を受けていればそれだけでも無理だと思って結構です。
(学校によって差はありますが、選考の際非常に不利です)

模試の成績は進研の偏差値で65くらいでしたし、学校での成績も平均付近を上下してましたので、私はそれほどできる生徒ではありませんでしたが、競争が無かったのでうまいこと取れました。
ti-zuさんの場合進研の偏差値で平均66とのこと。
決して出来の悪い生徒ではないと思います。推薦を取れる可能性は大いにあると思いますよ。
校内選抜になると、あとは相手(成績など)の問題ですのでこれは運しだいでしょうね。

これでよろしいでしょうか?

以下に書く内容はあくまで私の学校での話です。
ti-zuさんの学校と同じ仕掛けだとは思えませんので其の点注意してください。

私の学校では9月の終わりごろ指定校枠の一覧表が発表され、あとは各自担任に受験したい旨を伝えることによって校内選抜に参加できました。
ただ、3年になった春に一般受験でかつ現役合格は無理だと悟っていたので(私の努力不足ですが)、4月の面談で指定校を取りたいと担任に伝えてはいました。
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Q互いに素と負の数

質問が複数ありまして、どうか教えてください。
ア:2整数A、Bが互いに素というとき、A、Bは自然数というのは前提ですか?例えば-2と-5や、-2と5は互いに素と言わないですか?
互いに素なら最大公約数が1のみだから、言わないのでしょうか?

イ:公約数に負の数は入りますか?例えば6と4の公約数の1つは-2、などと言いますか?

ウ:互いに素であることを示すなら、最大公約数が1しかないことを示すのと、公約数が1しかないことを示すのとどっちが普通ですか?

基本的なことですみませんが、基本が曖昧だったのでお願いします。

Aベストアンサー

1 を割り切る数のことを「単数」と言います。
整数の世界(有理整数環)では、1 と -1 が単数です。
整除関係を考えるとき、因子の単数倍については余り気にしません。
整数の素因数分解については、例えば
30 = 2×3×5 = (-2)×(-3)×5 = 2×(-3)×(-5) = (-2)×3×(-5)
のように、-1 の付け方でいろいろバリエーションがあるのですが、
式中での因子の並び順や、各因子の単数(-1)倍は無視して、
「素因数分解は一意である」と言います。
2 が 30 の因数であることと、-2 が 30 の因数であることは、
同じことである …とみなしているのです。

だから、ア.「互いに素」についても、2数が負数を含んでも構いません。
-2 と-5 や -2 と 5 では、公約数は 1 と -1 ですが、この2つは
互いに単数(-1)倍の関係なので、因子としては 1 個とみなすのです。
-2 と-5 は、互いに素です。

イ. についても、-2 は 6 と 4 の公約数か否か? と問われれば、
答えは「公約数である」ですが、公約数を挙げよと言われたとき、
負の公約数までいちいち挙げる必要は普通ありません。
「2 は 6 と 4 の公約数である」とだけ述べれば、その文意として
2 の単数倍である -2 が 6 と 4 の公倍数であることも含んでいる
と考えるからです。

因子の単数倍については、言わずもがなだから毎度言及はしない
だけで、負数も公約数公倍数に含まれることに違いはありません。

ウ. の2つの条件は、どちらも全く同じです。
元が 1 個しかない集合の最大値は、その 1 個の元ですから、
互いに素な2数の最大公約数と公約数は同じことです。
どちらが 1 個しかないと言っても、論理に違いはありません。
ただし、この場合も、「1 だけしかない」は、1 と -1 だけしかない
ことを指して言っているのです。

1 を割り切る数のことを「単数」と言います。
整数の世界(有理整数環)では、1 と -1 が単数です。
整除関係を考えるとき、因子の単数倍については余り気にしません。
整数の素因数分解については、例えば
30 = 2×3×5 = (-2)×(-3)×5 = 2×(-3)×(-5) = (-2)×3×(-5)
のように、-1 の付け方でいろいろバリエーションがあるのですが、
式中での因子の並び順や、各因子の単数(-1)倍は無視して、
「素因数分解は一意である」と言います。
2 が 30 の因数であることと、-2 が 30 の因数であることは、
同じことである …と...続きを読む

Q原核生物

青カビ、ゾウリムシ、大腸菌、酵母菌、ネンジュモ、アオコ、シイタケ

この中から原核生物を3つ選べという問題なのですが

教科書には具体的な生物の例がなく困っています。

予想では大腸菌、酵母菌となにかだと思うのですが...

この中のどれが原核生物だと思いますか?

回答お願いします。

Aベストアンサー

思うとか、思わないとか....クイズじゃないなぁ。
確(しっか)り覚えちゃいましょう、
説明
■原核細胞:細胞膜以外の二重構造を持たない細胞のことで、核、葉緑体、ミトコンドリア等の細胞内小器官が存在しない。尚、核の代わりに核様体、葉緑体ではなくチラコイドのみの器官を持っています。
■真核細胞:核、葉緑体、ミトコンドリア等の細胞膜以外の二重構造を持つ細胞のこと。

で、生物の例ですが.....
■原核生物:原核細胞のみから出来ている生物で、細菌類とラン藻類の2種類のみ。
 細菌類~大腸菌、肺炎双球菌、乳酸菌、根粒菌、亜硝酸菌、硝酸菌等
 ラン藻類~ユレモ、ネンジュモ、アナベナ、アオコ、スイゼンジノリ、アイミドリ、クロオコックス等
■真核生物:真核細胞を持つ生物のことで、菌類、細菌類以外の全ての生物ですが、真核生物の体内に原核細胞を持つ場合が在ります、例えば赤血球等です。

※気を付けなければいけないモノに、"酵母菌"が在ります。酵母は(細胞)核を持ち, 大きな分類では菌界 (キノコやカビの仲間) で、真核生物です。嘗(かつ)ては細菌の仲間と思われていたので酵母菌と呼ぶことが偶(たま)に在ります。

さぁ、以上から3っつ選べますね........、大腸菌、ネンジュモ、アオコ。

思うとか、思わないとか....クイズじゃないなぁ。
確(しっか)り覚えちゃいましょう、
説明
■原核細胞:細胞膜以外の二重構造を持たない細胞のことで、核、葉緑体、ミトコンドリア等の細胞内小器官が存在しない。尚、核の代わりに核様体、葉緑体ではなくチラコイドのみの器官を持っています。
■真核細胞:核、葉緑体、ミトコンドリア等の細胞膜以外の二重構造を持つ細胞のこと。

で、生物の例ですが.....
■原核生物:原核細胞のみから出来ている生物で、細菌類とラン藻類の2種類のみ。
 細菌類~大腸菌、肺炎双球...続きを読む

Q蒸気圧ってなに?

高校化学IIの気体の分野で『蒸気圧』というのが出てきました。教科書を何度も読んだのですが漠然とした書き方でよく理解できませんでした。蒸気圧とはどんな圧力なのですか?具体的に教えてください。

Aベストアンサー

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できます。
また、油が蒸発しにくいのは油の蒸気圧が非常に低いためであると説明できます。

さきほど、常温での水の飽和蒸気圧が0.02気圧であると述べましたが、これはどういう意味かと言えば、大気圧の内の、2%が水蒸気によるものだということになります。
気体の分圧は気体中の分子の数に比例しますので、空気を構成する分子の内の2%が水の分子であることを意味します。残りの98%のうちの約5分の4が窒素で、約5分の1が酸素ということになります。

ただし、上で述べたのは湿度が100%の場合であり、仮に湿度が60%だとすれば、水の蒸気圧は0.2x0.6=0.012気圧ということになります。

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できま...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q素とは?

数学関係の本でたまに「○○と××は素である」というような
記述を見かけるのですがこれはどういう意味なのでしょうか?
ちなみに素数の見間違えとかではありません。

Aベストアンサー

「互いに素」とも言いますが、○○と××が1以外に公約数を持たない
ことを「○○と××は素である」と表現します。
例えば、36と55は(互いに)素です。

Q旧帝大ってどんくらいすごいですか?

旧帝大ってどんくらいすごいですか?
私の祖母はめっちゃ旧帝大信者です
姉が私立大なのですが 実家帰るたび嫌味を言われていてかわいそうです
信者はうちの祖母の世代に限るんでしょうか?
皆さんは「旧帝卒」って聞くとどう感じますか?
教えて下さい

Aベストアンサー

国立大の話をすると、各県に教育学部と医学部が必ずあります。学校の先生とお医者さんは、各県に必ずいる大切な職業で、しかも高等な教育が必要だから、地元に養成機関を作ったんですね。また、ほとんどの県で、工学部か農学部、希に水産学部があります。これも地元の産業を担う人材を育てたい、ということですね。
旧帝大は、これら各県の枠では収まらない優秀な人材を集めて地元の産業の枠を超えた、国として産業や学問を発展させよう、という研究機関となります。北海道、東北、関東、中部、近畿、九州の各地方(なぜか中四国にはないんですよね)にあります。
特徴としては総合大学として、文学部、商学部、法学部、理学部、工学部が必ずあり、各分野の進歩を担う人材の育成を目的としています。
要は、「研究者」つまり「学者」を養成することが大きな目的です。

対して私立大の両雄、早稲田、慶応の例で書くと、これらは、社会に実際に役立つ人材を広く育成することが目的で、「実学」(実際の社会活動に役立つ学問)を教えることが主になります。
たとえば、建築の話ですると、
旧帝大は建築学の権威を育てたいと考え、私立大は優秀な建築家を育てたい、と考えているわけです。

ここでのポイントは、学者さんと技師さんとで、どちらを尊敬するか、ということですね。
昔は多くの人は中学にも行かずに職人や商売人になりました。職人は技師と同じ職場にいますし、経営者も商売人と直接関わる間柄になりますよね。技師さんや経営者さんは大学を出ていても身近な存在なんです。大学を出たばかりの設計技師さんよりも、現場で腕を磨いた頭領の方が優秀なことも多かったでしょう。
でも、身近に学者さんはいなかったでしょう。

で、回答になりますが、「旧帝大卒」と私が聞いた場合、研究者になるための一通りの作法を学んだ人だ、という認識を持ちます。実際に研究者になっていなくても、学んだ、つまりそういう考え方を習ったというところがキーになります。お茶の師匠になっていなくても、その作法を習った人は、茶道とは、というところを知っているだろう、というのと同じです。

これ、言い換えると、「私大卒」と私が聞いた場合、社会に実践的に役立ついろいろなことを知っている、身についている、と思います。

上下がある話ではなく、社会に貢献するやり方の違い、だという認識です。

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