行列の直行について

行列が直行かどうかはどう判断しますか
A＝1/25 [9. -20，-12]
......[12 .15，-16 ]
......[20 .0，15]

No.4 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/10/31 21:45

企業で統計を推進する立場の者です。

「直交」ですね。

『直交行列とは、どの任意の２列を取っても、その内積が0である』です。内積|a||b|cosθ＝0ということは、θ＝90°です。

内積を計算するには、各ベクトルの起点を０にして要素の積和を取れば良いです。行列Aでは各列の平均を引くことで起点を０にします。これを中心化と言います。

A行列の各列の平均を引いたものをXとしたとき、XTX（X転置X）をクロスプロダクト行列と言いますが、各列を０を起点とするベクトルとしたとき、それらの要素の積和を取った行列になっています。
なお、XTXの右下がり対角成分の各要素は内積の値ではなく列の2乗和になります。つまり分散のｎ倍です。ｎは行数です。

一方、直交条件は、XTX＝In と書かれます。Iは単位行列ですから、各列の分散が揃っている（右下がり対角成分の各要素が揃っている）ことになり、おや、と思うでしょうが、これは各列をベクトルとみなしたとき、その起点を０にするだけでなく、要素の２乗和をｎにするコード化の操作が行われいるからです。

よって、#2さんの記述は若干修正が必要で、
・中心化は絶対に必要。Aのままではダメ。
・基準化が無い場合は、XTXの下半分三角成分（＝上半分三角成分）が０になるだけで、対角成分は分散のｎ倍になるから数値はバラバラ、つまり単位ベクトルにはならないです。

あと、#3さんの記述に対する補足ですが、列か行か、は「かつ」ではなく「あるいは」です。Tを転置記号とすると、
rank(A)＝rank(ATA)＝rank(AAT)
ですから、どっちかが直交していれば結果は同じです。Aが正方行列でなくてもXTXは正方行列になり、またXTXの下半分三角成分と上半分三角成分は対称ですから行と列を入れ替えても同じです。ということは「かつ」でも間違いではないですが・・・。普通は列間が直交している行列を直交行列と言います。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/10/31 21:56

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/10/31 21:54

#4です。

すみません。私の記述中に出てくる「コード化」は実験計画法で使う用語でした。「基準化」に代えて下さいね。

ちなみに、基準化したXのXTXは相関係数行列のｎ倍になります。ｎは行数です。ただ、右下がり対角成分の各要素はｎです。

つまり、直交行列は、任意の２列間の相関は全て０なのです。

補足ですが、基準化していない場合は、XTXは分散共分散行列のｎ倍なのです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/10/30 11:23

1 異なる列同士、異なる行同士が直交している

2 各列、各行のユークリッドノルムが全て 1

地道に定義通り計算しましょう。近道はないと思う。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/29 19:32

定義を知らなかったら、教科書へ直行！

A が直交行列であるとは、 (A^T)A が単位行列だということ。
A^T は、A の転置のことね。
計算すれば、直交かそうでないかは判る。
やってみそ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/10/29 18:53

行列に「直行」などというものはない.

あるいは定義に従う.