確率密度関数

X が [0, 1] を台に持つ連続一様分布に従う確率変数とするとき, Y = X^4 が従う確率分布の確率密度関数fY (x) はどうなりますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/30 20:31

分布関数（累積密度関数）で考えるとわかりやすいですよ。

Xが従う確率密度関数をα(X)、その分布関数をA(X)とすると
　　A(X) = Pr[x≦X] = ∫{-∞〜X} α(x) dx
Yが従う確率密度関数をβ(Y)、その分布関数をB(Y)とすると
　　B(Y) = Pr[y≦Y]
　　β(Y) = dB/dY
です。で、
　　A(X) = B(Y)
　　Y = f(X)
である。そこでfの逆関数を
　　X = invf(Y)
とすると、
　　B(Y) = A(invf(Y))

　ご質問の場合にはαは [0, 1] の一様分布、すなわち
　　α(X) = if 0≦X≦1 then 1 else 0
より
　　A(X) =min(1, max(0, X))
であり、また
　　f(X) = X^4
だから
　　invf(Y) = Y^(1/4)
である。なので、
　　B(Y) = min(1, max(0, Y^(1/4)))
であり、
　　β(Y) = dB/dY = if 0≦Y≦1 then (1/4)Y^(-3/4) else 0