全ての0≦x≦πにおいて、n→∞のとき、Σ[n=1→∞]{(-1)^(n-1)/√n}sin(nx)

全ての0≦x≦πにおいて、n→∞のとき、Σ[n=1→∞]{(-1)^(n-1)/√n}sin(nx)が収束することを詳しく証明して頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/03 17:17

Sn(x)=Σ[k=1,n]sinkx と置くと

Sn(x)=sin(nx/2)sin{(n+1)x/2}/sin(x/2)
よって、0〈δ≦x≦π の範囲に対して
|Sn(x)|≦1/sin(x/2)≦sin(δ/2)
となり、x,nに無関係に有界である。
{(-1)^(n-1)/√n}は0に収束する単調減少数列だから、ディリクレの定理(本などを参照)によって
Σ[n=1,∞]{(-1)^(n-1)/√n}sinnxは0〈δ≦x≦π で一様収束する。
また、x=0のとき原級数は明らかに収束するから、0≦x≦π で収束する。