二項定理について。

次の③のx∧nの係数がなぜそうなるのかが分かりません。ご教授下さい。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/12/18 18:38

みえない.

この回答へのお礼

(2)nC0∧2ーnC1∧2＋nC２∧2、、、＋（ー 1)∧nnCn∧2という式の問題です。
ご教授下さい。

お礼日時：2020/12/19 10:03

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/12/19 16:08

(1 + x)^n = nC0 + nC1x + nC2x^2 + … + nC(n-1)x^(n-1) + nCnx^n・・・①

　x^rの項は、nCr(1)^(n-r)x^r・・①’
(1 ‐x)^n = nC0 +(-1) nC1x +(-1)² nC2x^2 + … + (-1)^(n-1)nC(n-1)x^(n-1)
+(-1)^n nCnx^n・・・②
x^(n-r)の項は、nC(n-r)(-1)^rx^(n-r)・・②’
よって、x^nの係数は①'x②’＝(nCr)^2(-1)^r
全部で (nC0)^2-(nC1)^2+(nC2)^2-(nC3)^2+-----+(-1)^n(nCn)²

(1 – x²)^n = nC0 +(-1) nC1x² +(-1)^2 nC2x^4 + … +(-1)^(n-1) nC(n-1)x^2(n-1) + (-1)^(n)nCnx^2n
n=2k+1｛奇数｝の時、x^(2k+1)の項は存在しないので、０
(nC0)^2-(nC1)^2+(nC2)^2-(nC3)^2+-----+(-1)^n(nCn)²=0
n=2kの時（偶数）の時、x^2kは最後の項の係数(-1)^(k)nCkしかない。
2k=nで表すと、(-1)^(n/2)nC(n/2)
(nC0)^2-(nC1)^2+(nC2)^2-(nC3)^2+-----+(-1)^n(nCn)²= (-1)^(n/2)nC(n/2)

この回答へのお礼

x∧rの項はの所からご教授下さい。すみません。

お礼日時：2020/12/19 16:20

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/12/19 21:22

x^rの項は、nCr(1)^(n-r)x^r・・①’=nCrx^r

x^(n-r)の項は、nC(n-r)(-1)^rx^(n-r)・・②’=nCr(-1)^r*x^(n-r)
①’ｘ②’＝nCr(‐1)^(r)x^ｎ、ｘ^n係数は(nCr)^2(-1)^r
全てのｘ^nの係数は、ｒ＝０～ｎとｎ＝０～ｎのくみあわせで
(nC0)^2-(nC1)^2+(nC2)^2-(nC3)^2+-----+(-1)^n(nCn)²

一方、（１＋ｘ)^n(1-x)^n=(1-x^2)^nから
nC0 +(-1) nC1x² +(-1)^2 nC2x^4 + … +(-1)^(n-1) nC(n-1)x^2(n-1) + (-1)^(n)nCnx^2n
xの奇数乗はないので、ｘの奇数乗は無いから係数もない。
あるのは、ｘの偶数乗だけ。
(-1)^(n)nCnx^2n
２ｎ＝ｋとすると係数は
(-1)^(k/2)nC(k/2)

この回答へのお礼

すみません。x∧rの項で、なぜ、(1)になっているのでしょうか？（ー 1)となるのではないのでしょうか？ご教授下さい。

お礼日時：2020/12/19 21:29

No.4 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2020/12/20 07:40

(1 + x)^nのx^rの項は、nCr(1)^(n-r)x^r

(1 ‐x)^nのx^(n-r)の項は、nC(n-r)(-1)^rx^(n-r)
nCr(1)^(n-r)x^r＊nC(n-r)(-1)^rx^(n-r)＝(nCr)^2*(-1)^r*x^n