数学II この二項定理の問題の解き方教えてください！

下の問題の解き方を教えてください！

次の□に入る数を、二項定理を用いて求めよ。
101C0+101C2+101C4+ … +101C98+101C100=2^□

読みにくくてすみません。答えは100です。
解説が載ってる冊子を配られておらず、自分なりにいろいろ変形してみたりしたものの100に辿り着けません…。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/15 01:18

組合せの数は

　nCk = n!/[(n - k)! × k!]
だということを知っていますよね？

ということは
　r = n - k
とすれば
　nCr = n!/[(n - r)! × r!]
　　　= n!/[(n - (n - k))! × (n - k)!]
　　　= n!/[k! × (n - k)!]

つまり
　nCk = nC(n - k)
なのです。

n = 101 として、k を偶数とすれば
　k = 2i （i=0~50)
で
　101Ck ＝ 101C2i = 101C(101 - 2i)
ここで、101 - 2i は「奇数」になることが分かりますか？
つまり
　101 - 2i = 2j + 1 （j=0~50)

問題で与えられた式は、この「偶数項」を足し合わせたもの。
それは「全体の和から、奇数項の和を引いたもの」であり、上から
「偶数項の和」と「奇数項の和」は等しくなるので、結局与式は
「全項の和の 1/2」
ということになります。

二項係数の全項の和は
　2^n = (1 + 1)^n
　　　= Σ[k=0→n]{nCk･1^k･1^(n - k)}
　　　= Σ[k=0→n]nCk
ということですから、n=101 であれば
　2^101
です。
偶数項の和は、その 1/2 なので
　2^101 × (1/2) = 2^100
になります。

この回答へのお礼

非常にわかりやすくて理解できました！！
偶数項＝「全項の和から奇数項の和を引いたもの」＝「全項の和の1/2」というステップは思いつけなかったです！感謝します！！

お礼日時：2022/11/15 03:37