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aは正の定数とする。関数y=-x^2+4x-3(0≦x≦a)の最大値を求めよ。

解き方が分かりません。解説も入れてくださると助かります。お願いします。

A 回答 (2件)

y=-x^2+4x-3で合ってますか。

なら

平方完成します。
https://mathtrain.jp/jikutyoten

y=-(x-2)^2+1
従って頂点の座標は
(2,1)

下図を参考にしてください。
y=f(x)と書くと

0≦a<2の時、最大値は
f(a)=-a^2+4a-3

2≦aの時、最大値は
y=1
「aは正の定数とする。関数y=-x^2+4」の回答画像2
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この回答へのお礼

ありがとうございます!┏●

お礼日時:2019/01/27 10:12

二次関数の最大最小を考えるときは、


その二次関数が上凸か下凸かと
軸の位置をまず考えましょう。
今回は、y = -(x-2)^2+1 と平方完成
できるので、上凸で軸は x = 2 です。

x の変域については、その両端と
中央の計3点を軸と比べるのだ ←[!]
ということを覚えておきましょう。
今回は、0≦x≦a ですから、3点は
x = 0, a/2, a です。
これと x = 2 の大小関係は、
0≦2≦a/2≦a,
0≦a/2≦2≦a,
0≦a/2≦a≦2 のどれかです。

それぞれの場合にグラフの簡単な略図
を書いてみると、
0≦2≦a/2≦a の場合、x = 2 のとき y が最大値、
0≦a/2≦2≦a の場合、x = 2 のとき y が最大値、
0≦a/2≦a≦2 の場合、x = a のとき y が最大値
であることがわかります。

整理すると、
2≦a の場合、最大値は 1、
0≦a≦2 の場合、最大値は -a^2+4a-3
です。

今回は、区間の中央と軸の比較が
答えに何も影響しませんでしたが、
類似の問題をいくつか解いてみると
[!]が重要であることが解ってくると思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!┏●

お礼日時:2019/01/27 10:12

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(log_2 x)^2 + (log_2 y)^2 = 2
で x = 2 のとき、代入して
(log_2 2)^2 + (log_2 y)^2 = 2 より
log_2 y = ±√{2 - (log_2 2)^2}
= ±√{2 - 1^2} = ±1.

よって、
y = 2^1 = 2 または
y = 2^-1 = 1/2.

z = xy と置くと、
log_2 z = log_2 (xy)
= (log_2 x) + (log_2 y).
また、
(log_2 z)^2 = {(log_2 x) + (log_2 y)}^2
= (log_2 x)^2 + (log_2 y)^2 + 2(log_2 x)(log_2 y)
= 2 + 2(log_2 x)(log_2 y)
より
(log_2 x)(log_2 y) = {(log_2 z)^2 - 2}/2.

t = log_2 x, log_2 y が
方程式 t^2 - (log_2 z)t + {(log_2 z)^2 - 2}/2 = 0
の解になるから、この方程式が実数解を持つように
0 ≦ 判別式 = (log_2 t)^2 - 4{(log_2 z)^2 - 2}/2
= 4 - (log_2 z)^2.
これを満たす z の範囲は、
-2 ≦ log_2 z ≦ 2 より
1/4 = 2^-2 ≦ z ≦ 2^2 = 4.

z の最大値は 4 でそれは
t = log_2 x, log_2 y が
t^2 - 4t + 4 = 0 の解であるとき、
つまり log_2 x = log_2 y = 2 のとき。
このとき、x = y = 2^2 = 4 である。

z の最小値は 1/4 で、それは
t = log_2 x, log_2 y が
t^2 + 4t + 4 = 0 の解であるとき、
つまり log_2 x = log_2 y = -2 のとき。
このとき、x = y = 2^-2 = 1/4 である。

(log_2 x)^2 + (log_2 y)^2 = 2
で x = 2 のとき、代入して
(log_2 2)^2 + (log_2 y)^2 = 2 より
log_2 y = ±√{2 - (log_2 2)^2}
= ±√{2 - 1^2} = ±1.

よって、
y = 2^1 = 2 または
y = 2^-1 = 1/2.

z = xy と置くと、
log_2 z = log_2 (xy)
= (log_2 x) + (log_2 y).
また、
(log_2 z)^2 = {(log_2 x) + (log_2 y)}^2
= (log_2 x)^2 + (log_2 y)^2 + 2(log_2 x)(log_2 y)
= 2 + 2(log_2 x)(log_2 y)
より
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Aベストアンサー

途中で投稿してしまいました。すみません。続きです。

0.0~0.4までが切り捨てられることになります。小数第二位以降は何でも構わないので、0.0~0.4999...の範囲では切り捨てられることになります。
つまり、切り捨てられる最大の数は0.4999...と言うことです。

切り上げの場合も同様に考えると、0.5~0.9999...の時に切り上げられることがわかります。(この時、0.5を切り上げると0.5を足すことになり、0.99を切り上げると0.01を足すことになることに注意してください。)
つまり、切り上げる場合には、最大で0.5を足すことになります。

さて、7xを四捨五入したとして、切り捨てられたとすると、7xは7x-0.4999...から7xの間の数になると考えられます。切り上げられたとすると、7xから7x+0.5の間の数になると考えられます。(切り上げた場合、本当は7xにはなりませんが、特に支障はないこと、説明するとかえってわかりにくくなるかもしれないことから、ここでは説明しないことにしておきます。暇なときにご自分で考えてみて下さい。)
つまり、四捨五入した結果5x+3は、7x-0.4999...から7x+0.5の間にあることがわかります。
これを不等式に表すと、
7x-0.4999...≦5x+3≦7x+0.5
左側を整理して、
7x-0.5<5x+3≦7x+0.5
これを解けば良いことになります。

まず全体から7xを引いて、、、
-0.5<-2x+3≦0.5
全体に(-)をかけて(不等号が反転します)、、、
0.5>2x-3≧-0.5
左右を入れ替えて、、、
-0.5≦2x-3<0.5
全体に3を足して、、、
2.5≦2x<3.5
全体を2で割って、、、
1.25≦x<1.75

まだ終わりではありません。

四捨五入した結果が5x+3になるわけですから、5x+3は整数であるはずです。3は整数ですので、5xが整数でなければなりません。
1.25から1.75の範囲で5倍して整数になる(小数第一位までの数で小数以下が0.0、0.2、0.4、0.6、0.8である。)のは、1.4と1.6だけです。

答えは1.4と1.6でしょうか。

途中で投稿してしまいました。すみません。続きです。

0.0~0.4までが切り捨てられることになります。小数第二位以降は何でも構わないので、0.0~0.4999...の範囲では切り捨てられることになります。
つまり、切り捨てられる最大の数は0.4999...と言うことです。

切り上げの場合も同様に考えると、0.5~0.9999...の時に切り上げられることがわかります。(この時、0.5を切り上げると0.5を足すことになり、0.99を切り上げると0.01を足すことになることに注意してください。)
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Qaは定数とする。関数y=2x^2-4x-1(a≦x≦a+1)の最大値を求めよ。の解き方が分かりません

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解説も入れてくださると助かります。お願いします。

Aベストアンサー

関数 f(x)=A(x-B)^2+C の
p≦x≦q での最大最小を考える問題は、
二次関数の問題の類型にして典型です。
放物線 y=f(x) と区間 [p,q] の位置関係を、
自分で一度整理しておいたほうがいいです。
一回きちんと分類しておくと、
問題で出会ったときに混乱しないですみます。

必要な場合分けは、
(1) 放物線の軸が区間より右にある q≦B の場合
(2) 放物線の軸が区間内の右半分にある (p+q)/2≦B≦q の場合
(3) 放物線の軸が区間内の左半分にある p≦B≦(p+q) の場合
(4) 放物線の軸が区間より左にある B≦p の場合
です。それぞれの場合の、
y=f(x)のグラフを書いてみてください。
その4つのグラフが目に焼き付いているといい。

(1)の場合、最大値が f(p) で最小値が f(q)、
(2)の場合、最大値が f(p) で最小値が f(B)、
(3)の場合、最大値が f(q) で最小値が f(B)、
(4)の場合、最大値が f(q) で最小値が f(p)
であることが確認できると思います。

この問題に当てはめると、
y=f(x)=2(x-1)^2-3, [p,q]=[a,a+1] なので
(1) a+1≦1 の場合、最大値が f(a) で最小値が f(a+1)、
(2) a+1/2≦1≦a+1 の場合、最大値が f(a) で最小値が f(1)、
(3) a≦1≦a+1/2 の場合、最大値が f(a+1) で最小値が f(1)、
(4) 1≦a の場合、最大値が f(a+1) で最小値が f(a)
となります。

式を整理すれば、
a≦0 の場合、最大値が 2a^2-4a-1 で最小値が 2a^2-3、
0≦a≦1/2 の場合、最大値が 2a^2-4a-1 で最小値が -3、
1/2≦a≦1 の場合、最大値が 2a^2-3 で最小値が -3、
1≦a の場合、最大値が 2a^2-3 で最小値が 2a^2-4a-1
です。

関数 f(x)=A(x-B)^2+C の
p≦x≦q での最大最小を考える問題は、
二次関数の問題の類型にして典型です。
放物線 y=f(x) と区間 [p,q] の位置関係を、
自分で一度整理しておいたほうがいいです。
一回きちんと分類しておくと、
問題で出会ったときに混乱しないですみます。

必要な場合分けは、
(1) 放物線の軸が区間より右にある q≦B の場合
(2) 放物線の軸が区間内の右半分にある (p+q)/2≦B≦q の場合
(3) 放物線の軸が区間内の左半分にある p≦B≦(p+q) の場合
(4) 放物線の軸が区間より左にある B≦p の場合
です。そ...続きを読む

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教えて欲しいです。

Aベストアンサー

問題文で与えられた条件を、素直に式にしただけでしょう。

まず、「計50」ですから
 3 + x + 13 + y + 8 + 5 = 50
整理して
 x + y = 21

次に、「階級値 44 つまり 42~46」の相対度数( = y/50)が、「階級値 36 つまり 34~38」の相対度数( = x/50)より 0.06 大きいので、
 y/50 = x/50 + 0.06
整理して
 y = x + 3
→ -x + y = 3

なんで「-2x + 2y = 6」などという未整理な式が出て来るのかは、理由が分かりません。


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