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aは正の定数とする。関数y=-x^2+4x-3(0≦x≦a)の最大値を求めよ。

解き方が分かりません。解説も入れてくださると助かります。お願いします。

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A 回答 (2件)

y=-x^2+4x-3で合ってますか。

なら

平方完成します。
https://mathtrain.jp/jikutyoten

y=-(x-2)^2+1
従って頂点の座標は
(2,1)

下図を参考にしてください。
y=f(x)と書くと

0≦a<2の時、最大値は
f(a)=-a^2+4a-3

2≦aの時、最大値は
y=1
「aは正の定数とする。関数y=-x^2+4」の回答画像2
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この回答へのお礼

ありがとうございます!┏●

お礼日時:2019/01/27 10:12

二次関数の最大最小を考えるときは、


その二次関数が上凸か下凸かと
軸の位置をまず考えましょう。
今回は、y = -(x-2)^2+1 と平方完成
できるので、上凸で軸は x = 2 です。

x の変域については、その両端と
中央の計3点を軸と比べるのだ ←[!]
ということを覚えておきましょう。
今回は、0≦x≦a ですから、3点は
x = 0, a/2, a です。
これと x = 2 の大小関係は、
0≦2≦a/2≦a,
0≦a/2≦2≦a,
0≦a/2≦a≦2 のどれかです。

それぞれの場合にグラフの簡単な略図
を書いてみると、
0≦2≦a/2≦a の場合、x = 2 のとき y が最大値、
0≦a/2≦2≦a の場合、x = 2 のとき y が最大値、
0≦a/2≦a≦2 の場合、x = a のとき y が最大値
であることがわかります。

整理すると、
2≦a の場合、最大値は 1、
0≦a≦2 の場合、最大値は -a^2+4a-3
です。

今回は、区間の中央と軸の比較が
答えに何も影響しませんでしたが、
類似の問題をいくつか解いてみると
[!]が重要であることが解ってくると思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!┏●

お礼日時:2019/01/27 10:12

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