数学Aの順列の問題

数学Aの順列の問題です。

(青チャート数学Ⅰ+AのP317の練習(2))

問題...
6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6を重複なく使ってできる6桁の数を、小さい方から順に並べる。

(2) 300番目の数を答えよ。


解答(別解の方の解答)...
300番目の数を①②③④⑤⑥とする。
ここで 300 = 5!*2 + 4!*2 + 3!*2 + 2!*0 + 1!*0 + 0
5!*2 から、①に入るのは、1, 2, 3, 4, 5, 6の3番目の 3
4!*2 から、②に入るのは、1, 2, 4, 5, 6の3番目の 4
3!*2 + 2!*0 + 1!*0 + 0 から、③に入るのは、1, 2, 5, 6の2番目の2で、342④⑤⑥は、342◯◯◯の形のものの最後の数となる。
ゆえに、④, ⑤, ⑥にそれぞれ6, 5, 1が入る。
よって、300番目の数は 342651


別解ではない方の解き方では正解を導けたのですが、こちらの別解は読んでもさっぱりわかりません。
この別解の解答をわかりやすく説明してください。
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/09/02 00:09

まず一番小さい数字は 123456

次に小さい数字は 123465
次に小さい数字は 123546
つまり大きい桁を小さい数字にする方が有利だよね。

当たり前だけど、６桁目が 1 から始まる数字は小さい。
では６桁目が 1 から始まる数字は何通りあるかというと、残り５桁なので 5! = 120 通り。
６桁目が 2 から始まる数字も同じく 120 通り。
６桁目が 3 から始まる数字も 120 通り。
120 * 2 < 300 < 120 * 3 であるから、300 番目の数字の６桁目は 3 と確定する。

では６桁目と５桁目が 31 から始まる数字の組み合わせは 4! = 24 通り。
上と同じように考えれば 24 * 2 < 300 - 240 < 24 * 3 より５桁目は 4 となる。

以下、同様。