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右の図の△ABCは∠B=90°の直角三角形であり、
3点D、E、Fは△ABCの外心、内心、重心の
いずれかであるとする。このとき、
△ABCの外心、内心、重心は3点D、E、F
のいずれかであるか。

の解き方が分かりません。教えてください。
解説も入れてくださると助かります。お願いします

「右の図の△ABCは∠B=90°の直角三角」の質問画像
教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

まず、∠ABC=90°から、ACが外円の直径なので、Dは外心


次に、Fは、その点から、各辺までの距離は等しい位置なので、内心
残りは、Eが重心で、例えば、CからABへの延長線とABとの交点は
ABを半分に分かち、また、その点とEまでの距離とCEの比が、1:2になるくらいの位置なので、まず 間違いないでしょう!
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∠B=90° しか情報が無いのですから、見た目で判断するしかありません。


・ 点D は AD=DC に見えますから、外心 となります。
(直角三角形の外心は 斜辺の中点 ですから。)
・ 内心は 各辺からの距離が等しいですから、点F の可能性が高いです。
・ 重心の定義から、線分DB 上に点E があるように見えますから、 点E が重心です。
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図の印象しか判断材料がないので、内心や重心を数学的に


定義に従ってこれだ!と決めることは不可能です。
Dが外心であることだけは、はっきりしていますが。
内心っぽく見えるもの、重心っぽく見えるものについて言えば、
重心は、線分BDの上にあるので、きっとEでしょう。
内心は、残りのFなんでしょうね。

幾何学をするとき、図は常に略図であって不正確なものである
という意識を失ってはいけません。参考にするのはいいけれど、
図から何かを結論することはありえない。上に書いたEがBD上
にあることだって、それっぽく見えるというだけで、図の説明文に
そう書いてなければ判断材料にしてはいけないんです。本来は。
そうでないと、図に騙されてあらぬ妄想を持ち込むことになります。
その辺のことの事例としては、「角の三等分」とかをキーワードに
少しグーグルしてみると、よくわかるかもしれません。
ともかく、この問題は、その意味でたいへんよくない問題です。
ちょっとした幾何学用語の知識チェックと引き換えに、数学に関する
重大な考え違いを初学者にすりこむリスクが大きい。
問題作成者の見識が疑われます。
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この図と問題文しかないのなら、点D、E、Fを明確に定義する情報がありません。

ということは、外心、内心、重心の定義に従って「これだ!」と決めるしかありません。

Dは#1様のおっしゃる通り、外心です。

内心とは三角形に内接する円の中心で、それぞれの頂点の角の二等分線が交わる点です。で、それに当てはまりそうなのは…F。

重心とは各頂点とその向かい合う辺の中点を結んだ線の交点です。で、当てはまりそうなのは…E。
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簡単なものから


外心は3点ABCを通る円の中心
円周角を考えると
ACを半径とした時
Bが円周上の点ならば
∠ABC=90
よってDは外心
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