場合の数、確率 19 自治医大多項定理

Question

本題

５乗の展開

(a+b+c)⁵

次数が小さいから、地道に全部やってしまう。

先ずは、
多項定理の一般項を表すのが定石なのだが、、、

識者の方のアプローチも教えてください

以下問題

__________________________________________

https://imgur.com/a/tyBl5A8

___________________

ありものがたり · Accepted Answer

少し工夫もしとくか。

(1 + √2 + √3)^5 = α + β√2 + γ√3 + δ√6 と置くと、
共役無理数を考えて
(1 - √2 + √3)^5 = α - β√2 + γ√3 - δ√6,
(1 + √2 - √3)^5 = α + β√2 - γ√3 - δ√6,
(1 - √2 - √3)^5 = α - β√2 - γ√3 + δ√6.

4本の式を辺々足すと、β,γ, δ が消えて
(1 + √2 + √3)^5
　+ (1 - √2 + √3)^5
　+ (1 + √2 - √3)^5
　+ (1 - √2 - √3)^5　= 4α.

これで
α = { (1 + √2 + √3)^5
　+ (1 - √2 + √3)^5
　+ (1 + √2 - √3)^5
　+ (1 - √2 - √3)^5 }/4
と書いて終われるなら、簡単。

この右辺を展開して = 296 まで出さねばならないようなら、
No.2 の計算のほうがマシだろう。

Tacosan · Answer

x = 1+√2+√3 とすると x^2 = 2√3x + 2√2 だから, x^5 がそれなりに簡単に求まる.

mtrajcp · Answer

(1+√2+√3)^5=α+β√2+γ√3+δ√6

α
=
Σ_{
a+2b+2c=5
0≦a
0≦b
0≦c
}
5!/{a!(2b)!(2c)!}(2^b)(3^c)

0≦a=5-2b-2c
2b+2c≦5
b+c≦5/2
b+c≦2
0≦c≦2-b
0≦b≦2
b=0のとき0≦c≦2
c=0のときa=5,(a=5,b=0,c=0)
c=1のときa=3,(a=3,b=0,c=1)
c=2のときa=1,(a=1,b=0,c=2)
b=1のとき0≦c≦1
c=0のときa=3,(a=3,b=1,c=0)
c=1のときa=1,(a=1,b=1,c=1)
b=2のときc=0,a=1,(a=1,b=2,c=0)

α
=
5!/(5!0!0!)(2^0)(3^0)
+5!/(3!0!2!)(2^0)(3^1)
+5!/(1!0!4!)(2^0)(3^2)
+5!/(3!2!0!)(2^1)(3^0)
+5!/(1!2!2!)(2^1)(3^1)
+5!/(1!4!0!)(2^2)(3^0)
=
1+30+45+20+180+20
=
296

ありものがたり · Answer

No.3 のままでも行けるかもしれない。
3 項 5 乗の展開を何個もしようと思うから気が重いので、
5 乗を 2 個づつ組にして
4α = { (1 + (√2 + √3))^5 + (1 - (√2 + √3))^5
　　　+ { (1 + (√2 - √3))^5 + (1 - (√2 - √3))^5 }
　　= 2{ 1 + 10(√2 + √3)^2 + 5(√2 + √3)^4 }
　　　+ 2{ 1 + 10(√2 - √3)^2 + 5(√2 - √3)^4 }
　　= 2{ 1 + 1 }
　　　+ 20{ (√2 + √3))^2 + (√2 - √3))^2 }
　　　+ 10{ (√2 + √3))^4 + (√2 - √3))^4 }
　　= 4
　　　+ 20・2{ √2^2 + √3^2 }
　　　+ 10・2{ √2^4 + 6 √2^2 √3^2 + √3^4 }
　　= 4
　　　+ 40{ 2 + 3 }
　　　+ 20{ 4 + 6・6 + 9 }
　　= 1184

α = 1184/4 = 296.
ってやれば、大したことなかった。

Tacosan · Answer

あるいは「多項式で割って次数を下げる」という定番に挑戦するか.

x=1+√2+√3 に対して x^5 を計算するから, x の満たす 2次方程式を作って x^5 の値を x の 1次式で求まるようにする.

x は整数係数 4次方程式の解ではあるけど, 4次式で割るよりも 2次式で割る方がたぶん簡単.

ありものがたり · Answer

さて、解くか。

質問氏も言ってるとおり、5乗くらいなら
地道に展開するのが早い気はする。
多項といってもたった 4 項だから、
多項定理を持ち出して Σ をいじるより
素朴に分配法則だけのほうが簡単で
ミスも少なげ。

(1 + √2 + √3)^2 = 1^2 + √2^2 + √3^2 + 2(1・√2 + 1・√3 + √2・√3)
　= 1 + 2 + 3 + 2(√2 + √3 + √6)
　= 6 + 2√2 + 2√3 + 2√6,

(1 + √2 + √3)^4 = ( (1 + √2 + √3)^2 )^2
　= (6 + 2√2 + 2√3 + 2√6)^2
　= (2^2)(3 + √2 + √3 + √6)^2
　= 4{ 3^2 + √2^2 + √3^2 + √6^2
　　+ 2(3√2 + 3√3 + 3√6 + √2√3 + √2√6 + √3√6) }
　= 4{ 9 + 2 + 3 + 6 + 2(6√2 + 5√3 + 4√6) }
　= 8{ 10 + 6√2 + 5√3 + 4√6 },

(1 + √2 + √3)^5 = (1 + √2 + √3)^(1 + √2 + √3)^4
　= (1 + √2 + √3)・8{10 + 6√2 + 5√3 + 4√6 }
　= 8{ (10 + 6√2 + 5√3 + 4√6)
　　+ √2(10 + 6√2 + 5√3 + 4√6)
　　+ √３(10 + 6√2 + 5√3 + 4√6) }
　= 8{ 10 + 6√2 + 5√3 + 4√6
　　+ 10√2 + 12 + 5√6 + 8√3
　　+ 10√３ + 6√6 + 15 + 12√2 }
　= 8{ 37 + 28√2 + 23√3 + 15√6 }.

α = 8・37 = 296.

ありものがたり · Answer

imgur のファイルは時限で消えるから
質問の添付ファイルを引用しようとするのだが、
最近、それをやると投稿がリジェクトされるようになった。
規約変更かね？

しょーがないから、手打ちで引用する。
ヤな手間だけど。
------------------------------------------------------------------------
整数 α,β,γ, δ を用いて
(1 + √2 + √3)^5 = α + β√2 + γ√3 + δ√6 と書く。
α を求めよ。
------------------------------------------------------------------------

場合の数、確率 19 自治医大 多項定理

少し工夫もしとくか。

x = 1+√2+√3 とすると x^2 = 2√3x + 2√2 だから, x^5 がそれなりに簡単に求まる.

(1+√2+√3)^5=α+β√2+γ√3+δ√6

No.3 のままでも行けるかもしれない。

あるいは「多項式で割って次数を下げる」という定番に挑戦するか.

さて、解くか。

imgur のファイルは時限で消えるから

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