場合の数、確率 21 東京大学 反復試行の確率

本題

回数が未知数でなく８回と定まっているので

どうにかやる気も起きる

本問は、反復試行の確率がテーマだが

組合せも必要だと思う

(2) の　≠　　が難儀

只今、試行錯誤中

識者の方のアプローチも教えてください

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https://imgur.com/a/zdxS022

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質問者からの補足コメント

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  本題
  
  本当に東大かと疑いたくなる易問
  
  (2) が少々考えにくい
  排反事象に分けるのが定石だろうが
  経路問題にすり替えて対応した
  
  式を並べていけば解けるのだがそれでは芸もなく
  つまらない問題になってしまうので図で解いた
  
  以下答案
  
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  https://imgur.com/a/f1U2qvf
  
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  from minamino

    補足日時：2023/06/27 01:49

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/27 23:43

k < n のとき

(Sk=0 かつ Sn=x)になる確率 = (Sk=0 になる確率)×(S(n-k)=x になる確率)
が成り立ちます。
Sk=0 であれば、そこを新たに時刻 0 として試行を繰り返すと考えればよい。

よって、(2)
(S2≠0 かつ S8=2)になる確率
　= (S8=2 になる確率) - (S2=0 かつ S8=2)になる確率
　= (S8=2 になる確率) - (S2=0 になる確率)×(S6=2 になる確率).
最右辺に現れる 3個の確率は、(1) と同様に求められます。
(S8=2 になる確率) = (8回中表5回裏3回が出る確率)
　= (8C3){ (1/2)^5 }{ (1/2)^3 }
　= { (8×7×6)/(3×2×1) }(1/2)^8
　= 7/(2^5),
(S2=0 になる確率) = (2回中表1回裏1回が出る確率)
　= (2C1){ (1/2)^1 }{ (1/2)^1 }
　= { 2 }(1/2)^2
　= 1/2,
(S6=2 になる確率) = (6回中表4回裏2回が出る確率)
　= (6C2){ (1/2)^4 }{ (1/2)^2 }
　= { (6×5)/(2×1) }(1/2)^6
　= 15/(2^6).
以上より、
(S2≠0 かつ S8=2)になる確率
　= { 7/(2^5) } - { 1/2 }{ 15/(2^6) }
　= { 7・2^2 - 15 }/2^7
　= 13/128.

(3) も同様です。
(S4=0 かつ S8=2)になる確率
　= (S4=0 になる確率)×(S4=2 になる確率)
　= (4回中表2回裏2回が出る確率)×(4回中表3回裏1回が出る確率)
　= (4C2){ (1/2)^2 }{ (1/2)^2 }・(4C1){ (1/2)^3 }{ (1/2)^1 }
　= { 6/2^4 }・{ 4/2^4 }
　= 3/32.

この回答へのお礼

学者さんへ

ご返信が遅くなりまして申し訳ありません。

体調を崩して今まで寝ておりました

バクテリアの問題、答案もう少し待って下さい

では

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from minamino

お礼日時：2023/06/28 19:35

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/26 20:36

表と裏が各々1/2の確率で出る硬貨がある

この硬貨を8回繰り返して投げ,
n回目に表が出れば
X(n)=1
裏が出れば
X(n)=-1
とし,
S(n)=X(1)+X(2)+X(3)+…+X(n) (1≦n≦8)とおく.

(1)
S(8)=2

裏の出る回数をkとすると
表の出る回数は
k+2=8-k
2k=6
裏の出る回数
k=3
表の出る回数は
k+2=5

表が5回裏が3回出る確率は

8C5/2^8=7/2^5=7/32

(2)
表表が出て,表が3回裏が3回出る確率は
(1/2^2)6C3/2^6=6*5*4/3/2/2^8=5/64
裏裏が出て,表が5回裏が1回出る確率は6C5
(1/2^2)6C5/2^6=6/2^8=3/2^7=3/128

∴(S(2)≠0)&(S(8)=2)の確率は

5/64+3/128=13/128

(3)
表が2回裏が2回出る確率4C2/2^4=4*3/2/2^4=3/8
表が3回裏が1回出る確率4C3/2^4=4/2^4=1/4

∴(S(4)=0)&(S(8)=2)の確率は

(3/8)(1/4)
=3/32

この回答へのお礼

教授

お久しぶりです

本題

本当に東大かと疑いたくなる易問

(2) が少々考えにくい
排反事象に分けるのが定石だろうが
経路問題にすり替えて対応した

式を並べていけば解けるのだがそれでは芸もなく
つまらない問題になってしまうので図で解いた

以下答案

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https://imgur.com/a/f1U2qvf

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from minamino

お礼日時：2023/06/27 01:51

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/06/26 09:33

（2）

分母が2⁸-2
分子は、
「S₂＝2の時S₈＝2になる組み合わせ数」＝「S₆＝0の組み合わせ数」＝6C3
「S₂＝-2の時S₈＝2になる組み合わせ数」＝「S₆＝4の組み合わせ数」＝6C5
を足したものかな

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

本題

本当に東大かと疑いたくなる易問

(2) が少々考えにくい
排反事象に分けるのが定石だろうが
経路問題にすり替えて対応した

式を並べていけば解けるのだがそれでは芸もなく
つまらない問題になってしまうので図で解いた

以下答案

______________________________________

https://imgur.com/a/f1U2qvf

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from minamino

お礼日時：2023/06/27 01:51