確率の問題

確率の問題です。

「の中に、４個の白球、３個の黒球、２個の赤球が入っている。
ここから取り出した球を元に戻さないで白球を取り出すまで取り続けるとき、
黒球が取り出されるよりも先に（最初の）白球が取り出される確率を求めよ。」

答えは４/7で
(1)白
(2)赤白
(3)赤赤白

の確率の積で三つの確率をだし、足して、結局自分で解けたのですが、
でもよく考えてみると、確率の定義によると、
「ある試行において起こりやすさが等しい根拠のある事象がn通りある。
また、事象Aが起こる場合が、このn通りの中のm通りである場合、この事象Aの起こる
確率P（A）はP（A）＝m/nである。」（参考書抜粋）
のはずだと思うんですが・・・。

自分でもなぜ確率の定義に沿ってやらなくても答えが出せるのかがわかりません。

この問題での根元事象などがわかりません。確率の定義に沿えばこの問題はどうとけますか？

よろしくお願いします。

No.13 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/05/05 21:22

>確率の定義を使えない確率って確率でないのでは・・・

良い質問です。質問者さんのいう確率の定義は「ラプラスの確率の定義」といいます。古典的確率論とも呼びます。現代数学の確率論は公理的確率論を基礎においています。
古典的確率論が間違っていると言うわけではなく、公理的確率論は誤解を恐れずに簡単に言うと無限個の事象の確率まで扱えるようにしたものです。高校では習わないですね。
でも、高校でも連続型の確率分布は習わないのかな?　一様分布とか正規分布とか？　0～1の間の実数をランダムに選ぶときの分布です。実数は無限にありますから。古典的確率論では扱えませんね。

因みに、No10で述べた、復元抽出の例も立派に確率が定義できます。黒球が出る前に白球がでる確率は4/7で、非復元抽出(元問題)と結果が同じになるんです。おもしろいですね。

No.12 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/04 20:19

←A No.9 補足

例えば、質問文中の例解で (2) の場合については、
白1～白4、黒1～黒3、赤1～赤2 という
個々に区別される 9 個の球の中から
順に 2 回取り出すことを根元事象とすることができる。
その際、(3) とは場合分けされているので、
3 個目の球を取り出して考える必要はない。

確率の和法則や積法則を使って問題を分割する利点は、
分割された小問題のそれぞれについて
個別に根元事象を設定できることで、
場合の数の数え上げが簡素化できることにある。

No.11 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/05/04 11:25

No.8の補足について

この問題は特殊なのですか？
＞特殊でもなんでもないでしょう。
今後確率の問題を解いていく上で回答者さんの解法と質問文にある解法はどちらが応用がきいて良いでしょうか？
＞問題によるでしょう。この問題なら質問文にある解法が簡単ですね。

No.10 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/05/04 10:14

No5,6です。

>今後確率の問題を解いていく上で回答者さんの解法と質問文にある解法はどちらが応用がきいて良いでしょうか？
私自身は、場合の数を求める方法を使うことは少ないです。例えば、元問題が復元抽出(取り出して元に戻す)だった場合を考えてみてください。
(赤,赤,赤,赤,赤,赤,白)なんてのもあり得ますね。なので根元事象の数は無限です。この場合あなたならどう解きますか？

この回答への補足

つまりケースバイケースっていことですか？
でも確率の定義を使えない確率って確率でないのでは・・・。

補足日時：2013/05/04 22:24

No.9 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/04 05:21

←A No.7 補足

「回答者さんの解法」とは、言って欲しくない。
回答は、質問の考え方に沿って説明したもの。
私自身は、例解と同じやり方をすると思う。

こっちのやり方は、まず確率の和法則で
問題を分割した後、各場合について、それぞれ
考え易い根元事象を設定して計算している。

この回答への補足

それは具体的にどのような根元事象ですか？
やはりその方が普通なのでしょうか。

補足日時：2013/05/04 08:18

No.8 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/05/02 17:53

根元事象は、４個の白球と３個の黒球と２個の赤球の計９個の球の並び、

例えば{白黒赤白黒赤白黒白}。
全事象は９個の球の並びの全てで9!/(4!*3!*2!)=1260通りあり(n=1260)、
これらの事象の生じる確率は等しく1/{9!/(4!*3!*2!)}=1/1260。
このうち黒球が取り出されるよりも先に白球が取り出される事象Aは
(1)白＊＊＊＊＊＊＊＊が8!/(3!*3!*2!)=560通り、
(2)赤白＊＊＊＊＊＊＊が7!/(3!*3!*1!)=140通り、
(3)赤赤白＊＊＊＊＊＊が6!/(3!*3!)=20通り、の計720通り(m=720)。
よってP(A)=m/n=720/1260=4/7。

この回答への補足

なるほど！たしかにそのように根元事象を設定すれば確率の定義をそのまま用いることができますね。
ここで新たに思ったのですが、この問題に対する普通の解法（質問文の解法）ではこのような考え方は使っているのですか？もしかして、普通の解法はさらに良い別の考えを用いているのですか？
この問題を私にとって複雑にさせているのは求める確率が(1)白
(2)赤白
(3)赤赤白
と、三つの場合とも取り出す回数が違うことだと思います。
ほかの問題ならば、例えば「８回取り出すうちに白４、黒３、赤１この確率」みたいのだったら取り出すのが８回だからわかりやすく、かつ統一的にもとまるからと思います。
その点、この問題は特殊なのですか？
今後確率の問題を解いていく上で回答者さんの解法と質問文にある解法はどちらが応用がきいて良いでしょうか？
長文本当にすみません。

補足日時：2013/05/03 23:21

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/02 13:50

何が根元事象であるか？を問うこと自体が無意味。

何を根元事象に置くか？を考えるべきなのです。
根元事象は、A No.6 にあるような用件
(1) 排他的：どれかひとつしか起こらないこと。
(2) 網羅的：どれかひとつは必ず起こること。
(3) 等確率：どれもが同様に起こりやすいこと。
を満たす範囲で、随意に設定するものです。
問題文中から探し出すのではなく、
自分で決めるのだということ。
質問氏は、球を全部取り出して並べる取り出し方を
根元事象にしようとしているようですが、
同色の球を(番号でも付けて)区別するのであれば、
(1)～(3)が満たされます。

この回答への補足

なるほど！たしかにそのように根元事象を設定すれば確率の定義をそのまま用いることができますね。
ここで新たに思ったのですが、この問題に対する普通の解法（質問文の解法）ではこのような考え方は使っているのですか？もしかして、普通の解法はさらに良い別の考えを用いているのですか？
この問題を私にとって複雑にさせているのは求める確率が(1)白
(2)赤白
(3)赤赤白
と、三つの場合とも取り出す回数が違うことだと思います。
ほかの問題ならば、例えば「８回取り出すうちに白４、黒３、赤１この確率」みたいのだったら取り出すのが８回だからわかりやすく、かつ統一的にもとまるからと思います。
その点、この問題は特殊なのですか？
今後確率の問題を解いていく上で回答者さんの解法と質問文にある解法はどちらが応用がきいて良いでしょうか？
長文本当にすみません。

補足日時：2013/05/03 23:21

No.6 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/05/02 12:54

＞私は単純に、この問題は白球がいつでたかの確率だから、根元事象は球を全部取り出した数ではないかと思うんです。

根元事象はあくまで起こりうる事柄の事ですね。で根元の意味は排他的という意味が含まれます。（異なる根元事象は同時には起きない）
もう一つの重要なことは何に関心があって何を区別するかです。今回の場合、出た色に関心がありますから、ダイレクトに考えると、
あなたの言うように、球を全部取り出した場合の数は色に限って言うと、黒3個、赤2個、白4個の1通りでしかありません。
なんで、あなたの考えの中には当然のこととして、色の出る順、および同じ色でも球の違いを意識して全部取り出した場合の数と言っているのだと思います。
その上で、結論として、確率を計算するとき「同様な確からしさで起こる」根元事象をあなたの言うように考えてOKです。確率的に元問題と同じと考えられるので。

＞でもなんか白球が一回目に出るのと二回目に出るのと・・・と場合分けしてやるのはなんかちがうなぁと思うんです。
これは、事象Aの計算するのに場合分けした方が簡単と言うだけの話です。

No.5 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/05/02 12:29

良い質問です。

まともに取り組めば、
1回の試行は「白球が出るまで球をとり続ける。（球は元に戻さない）」ですので、おきた事象を（赤,黒,白)の様に取り出した色の順にかっこで表すとすると、
根元事象：(白),(黒,白),(赤,白),(黒,黒,白),(黒,赤,白),(赤,黒,白),(赤,赤,白),(黒,黒,黒,白),(黒,黒,赤,白),(黒,赤,黒,白),(黒,赤,赤,白),・・・途中省略・・・,(赤,黒,赤,黒,黒,白),(赤,赤,黒,黒,黒,白)
の34通りです。ですがこれらの根元事象は明らかに「同様な確からしさ」では起きません。なので、事象の場合の数からP(A)=m/nのように求める訳にいきません。
なので、どうするかというと、試行をちょい変えてみます。
1回の試行を「白球がでても最後まで9個の球をとり続ける。」に変えます。そして、球は白1,白2のように同じ色でも区別して考えます。すると
根元事象は(黒1,黒2,黒3,赤1,赤2,白1,白2,白3,白4),・・・(白4,白3,白2,白1,赤2,赤1,黒3,黒2,黒1)　の9!通りになります。これらは「同様な確からしさで起こる」と仮定しても良い。
で、問題の事象A：「黒球が取り出されるよりも先に（最初の）白球が取り出された」の場合の数を求めると
(白1or白2or白3or白4,*,*,*,*,*,*,*,*) の 4x8!通り (*はanyの意味)
(赤1or赤2,白1or白2or白3or白4,*,*,*,*,*,*,*)　　の 2x4x7!通り
(赤1or赤2,赤2or赤1,白1or白2or白3or白4,*,*,*,*,*,*)　　の 2x4x6!通り
全部足すと、288x(6!)です。なので、P(A)=288x(6!)/(9!)=4/7 となります。

この回答への補足

なるほど！たしかにそのように根元事象を設定すれば確率の定義をそのまま用いることができますね。
ここで新たに思ったのですが、この問題に対する普通の解法（質問文の解法）ではこのような考え方は使っているのですか？もしかして、普通の解法はさらに良い別の考えを用いているのですか？
この問題を私にとって複雑にさせているのは求める確率が(1)白
(2)赤白
(3)赤赤白
と、三つの場合とも取り出す回数が違うことだと思います。
ほかの問題ならば、例えば「８回取り出すうちに白４、黒３、赤１この確率」みたいのだったら取り出すのが８回だからわかりやすく、かつ統一的にもとまるからと思います。
その点、この問題は特殊なのですか？
今後確率の問題を解いていく上で回答者さんの解法と質問文にある解法はどちらが応用がきいて良いでしょうか？
長文本当にすみません。

補足日時：2013/05/03 23:20

No.4 回答者： he-goshite- 回答日時： 2013/05/02 11:22

全部で９この玉があり，それぞれ全部が識別できるものと仮定したとき，元に戻すことなく順番に取り出す取り出し方（並べ方）は何通りになるかを計算してみてください。

（もちろん ９！とおりですね。）

これらひとつひとつの試行はすべて「おこりやすさが等しい」と考えられる事象です。この数値がｎです。

そのすべての取り出し方のなかで，doragonnbo-ru さんがあげている

（１）の条件に当てはまるものと（２）の条件に当てはまるものと（３）の条件に当てはまる事象とをあわせたもの　が
「黒球が取り出されるよりも先に（最初の）白球が取り出される」という事象（＝事象A）

です。
それぞれ何通りの場合があるかを計算して合計し（それがｍの数値ですから），すべての場合の数（ｎ）で割れば　よいでしょう。

この回答への補足

なるほど！たしかにそのように根元事象を設定すれば確率の定義をそのまま用いることができますね。
ここで新たに思ったのですが、この問題に対する普通の解法（質問文の解法）ではこのような考え方は使っているのですか？もしかして、普通の解法はさらに良い別の考えを用いているのですか？
この問題を私にとって複雑にさせているのは求める確率が(1)白
(2)赤白
(3)赤赤白
と、三つの場合とも取り出す回数が違うことだと思います。
ほかの問題ならば、例えば「８回取り出すうちに白４、黒３、赤１この確率」みたいのだったら取り出すのが８回だからわかりやすく、かつ統一的にもとまるからと思います。
その点、この問題は特殊なのですか？
今後確率の問題を解いていく上で回答者さんの解法と質問文にある解法はどちらが応用がきいて良いでしょうか？
長文本当にすみません。

補足日時：2013/05/03 23:22