場合の数、確率 46 一橋大学再掲載

Question

(1)

１回目で終了するのは
１回目に3枚とも裏が出た場合

p1=(1/2)^3

２回目の試行で終了するのは次の３つの場合

3枚→3枚→0枚
3枚→2枚→0枚
3枚→１枚→0枚

それぞれの確率は

反復試行の確率を使って

求められる

(2)

１回目の試行は必ず行わられるので、q1=1

n≧2

試行がｎ回行われるのは
n-1 回目の試行の後に、少なくとも1枚は残っている場合の数

これは、余事象でと考えたのですが


その先が進みません。

教えて下さい

以下問題

_________________________________________________

https://imgur.com/a/gL10QU6

_________________________

mtrajcp · Accepted Answer

問題は
「
最初の試行で3枚の硬貨を同時に投げ,裏が出た硬貨を取り除く.
次の試行で残った硬貨を全部投げ,裏が出た硬貨を取り除く.
以下この試行をすべての硬貨が取り除かれるまで繰り返す.
」
なので

3枚の硬貨を同時に投げるので
題意の試行は、硬貨A,B,C を順に１枚づつ投げることに等しくありません

硬貨A,B,C を順に１枚づつ投げることに等しいのなら

i) 硬貨A,B,Cがn-1回目まで残る

の場合はあり得ない

硬貨Aのみ n-1 回投げる　n-1 とも表　
硬貨Bのみ n-1 回投げる　n-1 とも表

硬貨A, 硬貨B,の試行は終了

硬貨Cを投げる必要などはない,硬貨Cは無関係なら

i) 硬貨A,B,Cがn-1回目まで残る

の場合はあり得ない

mtrajcp · Answer

i) 硬貨A,B,Cがn-1回目まで残る

ii) 
硬貨A,Bがn-1回目まで残り,Cはなくなるか
硬貨B,Cがn-1回目まで残り,Aはなくなるか
硬貨C,Aがn-1回目まで残り,Bはなくなる

iii)
硬貨Cがn-1回目まで残り,硬貨A,Bがなくなるか
硬貨Bがn-1回目まで残り,硬貨C,Aがなくなるか
硬貨Aがn-1回目まで残り,硬貨B,Cがなくなる

iv) n-1回目に試行が終了する

mtrajcp · Answer

補足2023/08/13 22:37
について
図の通り

tsuyoshi2004 · Answer

今回は硬貨が３枚と限定されているので、わかりやすく１円硬貨、１０円硬貨、１００円硬貨の３枚とします。
（１）割愛
（２）１円硬貨が（ｎ－１）回目まで残る確率は（１／２）＾（ｎ－１）
同様に１０円硬貨が（ｎ－１）回目まで残る確率は（１／２）＾（ｎ－１）
同じく１００円硬貨が（ｎ－１）回目まで残る確率は（１／２）＾（ｎ－１）
したがって、（ｎ－１）回目までに全てが取り除かれる確率は
①｛１－（１／２）＾（ｎ－１）｝＾３
よって、ｎ回目まで試行が行われる確率は
②１－｛１－（１／２）＾（ｎ－１）｝＾３

ここで（１）に戻って確認をすると、
１回目で全てが取り除かれる確率は①にn=2を代入して、１／８
２回目までに全てが取り除かれる確率は①にn=3を代入して、２７／６４
したがって、２回目で全てが取り除かれる確率は19/64

さらに確認をすれば、
３回目の試行が行われる確率は②にn=3を代入して、３７／６４
２回目の試行が行われる確率は②にn=2を代入して、７／８
したがって、２回目で全てが取り除かれる確率はやはり19/64

yukkurine · Answer

n-1回目までに試行が終了する確率を求める。
一度裏が出ても取り除かず、そのままn-1回目まで投げ続けるとする。
n-1回投げたとき、少なくとも1回裏が出る確率は、1-(1/2)^(n-1)
3枚とも少なくとも1回表が出る確率は、(1-(1/2)^(n-1))^3
これがn-1回目までに試行が終了する確率と等しいので
1-qn = (1-(1/2)^(n-1))^3
qn = 1 - (1-(1/2)^(n-1))^3
qn = 3/2^(n-1) - 3/4^(n-1) + 1/8^(n-1)

mtrajcp · Answer

最初の試行で3枚の硬貨を同時に投げ,裏が出た硬貨を取り除く.
次の試行で残った硬貨を全部投げ,裏が出た硬貨を取り除く.
以下この試行をすべての硬貨が取り除かれるまで繰り返す.

2回目で1枚残る確率は
1/2^2=1/4
2回目までに1枚減る確率は
1-1/4=3/4
2回目までに3枚減って終了する確率は
(3/4)^3=27/64

3回目で1枚残る確率は
1/2^3=1/8
3回目までに1枚減る確率は
1-1/8=7/8
3回目までに3枚減って終了する確率は
(7/8)^3=343/512
だから
試行が3回目で終了する確率は
p3=343/512-27/64
=127/512

mtrajcp · Answer

最初の試行で3枚の硬貨を同時に投げ,裏が出た硬貨を取り除く.
次の試行で残った硬貨を全部投げ,裏が出た硬貨を取り除く.
以下この試行をすべての硬貨が取り除かれるまで繰り返す.
(1)
試行が1回目で終了する確率
p1=1/2^3
=1/8
2回目で1枚残る確率は
1/2^2=1/4
2回目までに1枚減る確率は
1-1/4=3/4
2回目までに3枚減って終了する確率は
(3/4)^3=27/64
だから
試行が2回目で終了する確率は
p2=27/64-1/8
=19/64

(2)
A=(硬貨aがn-1回連続して表が出る)
B=(硬貨bがn-1回連続して表が出る)
C=(硬貨cがn-1回連続して表が出る)

n-1回連続して表が出る確率は
P(A)=P(B)=P(C)=1/2^(n-1)

A,B,Cは独立だから
P(A∩B)=P(A)P(B)=1/4^(n-1)
P(B∩C)=P(B)P(C)=1/4^(n-1)
P(C∩A)=P(C)P(A)=1/4^(n-1)

P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)=1/8^(n-1)

試行がn回以上行われる確率は

q_n
=
P(A∪B∪C)
=
P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(A∩C)+P(A∩B∩C)
=
3/2^{n-1}-3/4^{n-1}+1/8^{n-1}

場合の数、確率 46 一橋大学 再掲載

問題は

i) 硬貨A,B,Cがn-1回目まで残る

補足2023/08/13 22:37

今回は硬貨が３枚と限定されているので、わかりやすく１円硬貨、１０円硬貨、１００円硬貨の３枚とします。

n-1回目までに試行が終了する確率を求める。

最初の試行で3枚の硬貨を同時に投げ,裏が出た硬貨を取り除く.

最初の試行で3枚の硬貨を同時に投げ,裏が出た硬貨を取り除く.

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