高校、確率漸化式の問題です。 解答がなく、解き方もわかりません…。 ぜひ解き方を教えてください！ よ

高校、確率漸化式の問題です。
解答がなく、解き方もわかりません…。
ぜひ解き方を教えてください！
よろしくお願いします！

《問題》

投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ 1／2 の硬貨が３枚ある。その硬貨３枚を同時に投げる試行を繰り返す。持ち点０から始めて、１回の試行で表が３枚出れば持ち点に１が加えられ、裏が３枚出れば持ち点から１が引かれ、それ以外は持ち点が変わらないとする。n回の試行後に持ち点が３の倍数である確率をP nとする。このとき、次の各問に答えよ。

（１）P1、P2 を求めよ。（ 1 と 2 は小さい字）

（２）Pn＋1 をPnで表せ。（１は小さい字）

（３）Pnを ｎの式で表せ。

質問者からの補足コメント

• 現在 高１で、確率漸化式というのを習ったばかりなので、わかりやすく教えて頂けると嬉しいです！

    補足日時：2019/12/03 08:09

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/03 19:15

n回の試行後に持ち点が3の倍数である/3の倍数でない

で考えはじめると、やや難しいのでは？
n回の試行後に持ち点を３で割った余りが 0 である確率を P(n)、
n回の試行後に持ち点を３で割った余りが 1 である確率を Q(n)、
n回の試行後に持ち点を３で割った余りが 2 である確率を R(n) と置くと、
問題の状況は、
P(n+1) = P(n)・(1 - 1/2^3 - 1/2^3) + Q(n)・(1/2^3) + R(n)・(1/2^3),
Q(n+1) = Q(n)・(1 - 1/2^3 - 1/2^3) + R(n)・(1/2^3) + P(n)・(1/2^3),
R(n+1) = R(n)・(1 - 1/2^3 - 1/2^3) + P(n)・(1/2^3) + Q(n)・(1/2^3).
と書ける。2本めと3本めの式を足して
P(n+1) = P(n)・(3/4) + { Q(n) + R(n) ｝(1/8),
Q(n+1) + R(n+1) = { Q(n) + R(n) }(3/4 + 1/8) + P(n)・(1/8 + 1/8).
と整理できるが、P(n) + Q(n) + R(n) = 1 なので、
P(n+1) = P(n)・(3/4) + { 1 - P(n) ｝(1/8).
これが(2)の答えとなる。　途中に現れた Q(n) + R(n) が
n回の試行後に持ち点が3の倍数でない確率だから、
最初からこの状況が見通せている人にとっては No.1 のとおりなのだろう。

P(n+1) = (5/8)P(n) + 1/8.
を解くのは定型的な処理で、
x = (5/8)x + 1/8 の解 x = 1/3 を使って
P(n+1) - x = (5/8)( P(n) - x ) より
P(n) - 1/3 = (P(1) - 1/3)(5/8)^(n-1).

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/12/03 01:23

n回の試行後に持ち点が 3の倍数であるとして, どうであれば (n+1)回の試行後に持ち点が 3の倍数になる?

n回の試行後に持ち点が 3の倍数でないとして, どうであれば (n+1)回の試行後に持ち点が 3の倍数になる?

この回答へのお礼

返信をありがとうございました！
なんとかできました！

お礼日時：2019/12/03 17:32