場合の数、確率 46 一橋大学

本題

(1)は、３枚をｎ枚に一般化させ
それに、n=3 を代入してみた

一般化させないとくどいほど反復試行の確率にハマってしまう

(2) 試行がｎ回以上になる
言い換えれば、n-1 の時点で少なくとも1枚はにこっていることになる

ここまでは分かります

この先を教えてください

何卒よろしくお願い申し上げます。

以下問題

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https://imgur.com/a/gL10QU6

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No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/09 10:53

最初の試行で3枚の硬貨を同時に投げ,裏が出た硬貨を取り除く.

次の試行で残った硬貨を全部投げ,裏が出た硬貨を取り除く.
以下この試行をすべての硬貨が取り除かれるまで繰り返す.
(1)
試行が1回目で終了する確率
p1=1/2^3
=1/8
2回目で1枚残る確率は
1/2^2=1/4
2回目までに1枚減る確率は
1-1/4=3/4
2回目までに3枚減って終了する確率は
(3/4)^3=27/64
だから
試行が2回目で終了する確率は
p2=27/64-1/8
=19/64

(2)
A=(硬貨aがn-1回連続して表が出る)
B=(硬貨bがn-1回連続して表が出る)
C=(硬貨cがn-1回連続して表が出る)

n-1回連続して表が出る確率は
P(A)=P(B)=P(C)=1/2^(n-1)

A,B,Cは独立だから
P(A∩B)=P(A)P(B)=1/4^(n-1)
P(B∩C)=P(B)P(C)=1/4^(n-1)
P(C∩A)=P(C)P(A)=1/4^(n-1)

P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)=1/8^(n-1)

試行がn回以上行われる確率は

q_n
=
P(A∪B∪C)
=
P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(A∩C)+P(A∩B∩C)
=
3/2^{n-1}-3/4^{n-1}+1/8^{n-1}