場合の数、確率 16 一橋大学

Question

本題

未知数 n

少なくとも１つなら余事象もありだが
少なくても２回はどう考えればいいんだろう

とにかく、n=5

辺りで具体化する方針

只今、試行錯誤中です、

識者の方のアプローチも教えてください

以下問題

_________________________________

https://imgur.com/a/PBAvbB5

Tacosan · Accepted Answer

よじしょうでいく.

ありものがたり · Answer

←No.8 補足
そこで A ∧ notB を考えていることが見当違い。

A ： １の目が少なくても１回出て、かつ、２の目が少なくても１回出る
B ： １の目が少なくとも２回出て、かつ、２の目が少なくとも１回出る
C : １の目が丁度１回出て、かつ、２の目が少なくても１回出る

(A ⇔ B∨C)かつ(B∧C ⇔ 偽)より
Aが起こる確率 = Bが起こる確率 + Cが起こる確率.

(A ∧ notB)が起こる確率は、No.6 の計算には関係がない。

ありものがたり · Answer

←No.6 補足

現象論として、
(1が1個以上2が1個以上出る)
⇔ (1が2個以上2が1個以上出る) ∨ (1が丁度1個で2が1個以上出る),

(1が2個以上2が1個以上出る) ∧ (1が丁度1個で2が1個以上出る)
⇔ 偽.

この話を確率へ移して、
(1が1個以上2が1個以上出る)確率
= ((1が2個以上2が1個以上出る) ∨ (1が丁度1個で2が1個以上出る))確率,

((1が2個以上2が1個以上出る) ∧ (1が丁度1個で2が1個以上出る))確率
= 0.

確率の一般論として、
事象 P,Q が排他的( (P∧Q)の起こる確率=0 ) であれば
(P∨Q)の起こる確率 = (Pの起こる確率) + (Qの起こる確率) なので、
上記より
(1が1個以上2が1個以上出る)確率
= (1が2個以上2が1個以上出る)確率 + (1が丁度1個で2が1個以上出る)確率
となる。

移項して、前述の式を得る。
...って、これを説明してもらわなければならない状況って、
流石にヤバすぎないか？ 演習問題で悩んでる場合じゃない。
教科書の最初のほうを一頁目から読み返さないといかん。

ありものがたり · Answer

imgur はそのうちファイルが消えてしまうので、今回も例によって
ダウンロードしたファイルを添付画像に付けたのだが、
それをやると投稿即削除されてしまうらしい。
No.2 〜 No.5 が欠番になっているのは、そのため。
しょうがないから、問題を手打ちで再掲しとく。
次回以降、これは質問者本人にやってほしい。
頼むよ、ほんまに。

↓質問文のリンク先の内容

1 個のサイコロを n 回投げる。
(1) n≧2 のとき、1 の目が少なくとも 1 回出て、かつ 2 の目が少なくとも 1 回出る確率を求めよ。
(2) n≧3 のとき、1 の目が少なくとも 2 回出て、かつ 2 の目が少なくとも 1 回出る確率を求めよ。

ありものがたり · Answer

(1が1個以上2が1個以上出る確率)
= 1 - (1または2が出ない確率)
= 1 - { (1が出ない確率) + (2が出ない確率) - (1も2も出ない確率) }
= 1 - { (5/6)^n + (5/6)^n - (4/6)^n }
= 1 - 2(5/6)^n + (2/3)^n.

(1が2個以上2が1個以上出る確率)
= (1が1個以上2が1個以上出る確率) - (1が丁度1個で2が1個以上出る確率)
= { (1)の答え } - { (1が丁度1個出る確率) - (1が丁度1個で2が出ない確率) }
= { 1 - 2(5/6)^n + (2/3)^n } - { (nC1){ (1/6)^1 }{ (5/6)^(n-1) } - (nC1){ (1/6)^1 }{ (4/6)^(n-1) } }
= 1 - (2 + n/5)(5/6)^n + (1 + n/4)(2/3)^n.

どれとどれが余事象かっていうと... あちこち入れ子になってるね。
上記の計算で確率を引き算してるとこは、どれも余事象計算。

ありものがたり · Answer

(1が1個以上2が1個以上出る確率)
= 1 - (1または2が出ない確率)
= 1 - { (1が出ない確率) + (2が出ない確率) - (1も2も出ない確率) }
= 1 - { (5/6)^n + (5/6)^n - (4/6)^n }
= 1 - 2(5/6)^n + (2/3)^n.

(1が2個以上2が1個以上出る確率)
= (1が1個以上2が1個以上出る確率) - (1が丁度1個で2が1個以上出る確率)
= { (1)の答え } - { (1が丁度1個出る確率) - (1が丁度1個で2が出ない確率) }
= { 1 - 2(5/6)^n + (2/3)^n } - { (nC1){ (1/6)^1 }{ (5/6)^(n-1) } - (nC1){ (1/6)^1 }{ (4/6)^(n-1) } }
= 1 - (2 - n/5)(5/6)^n + (1 + n/4)(2/3)^n.

どれとどれが余事象かっていうと... あちこち入れ子になってるね。
上記の計算で確率を引き算してるとこは、どれも余事象計算。

今回も例によって、imgur はそのうちファイルが消えてしまうので
問題を引用しておく。

場合の数、確率 16 一橋大学

よじしょうでいく.

←No.8 補足

←No.6 補足

imgur はそのうちファイルが消えてしまうので、今回も例によって

(1が1個以上2が1個以上出る確率)

(1が1個以上2が1個以上出る確率)

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