AはＡである

下記の三つ、アとイとウは同じ意味ですか？

ア）　AはＡである。
イ）　A=A
ウ）　AとAは同じ。

意味とは何か？
表現と意味の違い？
解釈とは何か？
言葉と数学の違い？
認識と解釈の違い？
意図と意味の違い？

そんな事が質問背景です。

質問者からの補足コメント

• いま気付きました。
  形式科学としての数学においては、これらに違いはなく、それぞれの表現自体も意味を持たない、という事でしょうか？
  
  数学を仄めかしてるけど単なるトンチの範疇、なのでしょうかね。

    補足日時：2021/01/04 11:40

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/04 13:22

[1] 言葉の問題として考えると、

　　ア*）pはqである。
　　ウ*）pとqは同じ。
は明らかに別のことを主張している。となると、pとqにAを入れて作った
　　ア）AはAである。
　　ウ）AとAは同じ。
は（真偽は一致しても）「言ってること」は違うのではないか。

ウ）はAが何であるかが曖昧です。なので
　　= と = は同じ。
　　∀ と ∃ は同じ。
　　アとアは同じ。
　　アとあは同じ。
　　名詞と名詞は同じ。
　　動詞と名詞は同じ。
　　三文字と三文字は同じ。
　　五文字と三文字は同じ。
　　同じと同じは同じ。
　　似ていると同じは同じ。
　　高いと高いは同じ。
　　暑いと高いは同じ。
　　楽であるのと楽であるのは同じ。
　　苦痛であるのと楽であるのは同じ。
はウ）, ウ*）の例になっているでしょう。

ア）もAが何であるかが曖昧です。
　　= は = である。
　　∀ は ∃ である。
　　アはアである。
　　アはあである。
　　名詞は名詞である。
　　動詞は名詞である。
　　三文字は三文字である。
　　五文字は三文字である。
　　同じは同じである。
　　似ているは同じである。
　　高いは高いである。
　　暑いは高いである。
　　楽であるのは楽であるのである。
　　苦痛であるのは楽であるのである。
はア）, ア*）の例になっているでしょう。

　対応するもの同士を比べて、さて、日本語として意味が一致しているかどうか。

[2] これらに対して、イ）　A=A は「等号を含む一階述語論理」という体系における式です。この場合、Aは「対象」に限定である。ここで、「対象」というのは、「等号を含む一階述語論理において 等号 = で結ぶことによって命題を形成できるモノ」のことです。たとえば、= や ∀ は対象ではないので、
　　= = =
　　∀ = ∀
などは命題にならない。特に、Aは論理記号だとか命題だとか述語だとかではない。

　さて、等号を含む一階述語論理の上に集合論の公理系（ZF系）が作られていて、これが標準的な数学基礎論です。この理論で扱われる「対象」は集合に限定です。もちろん、この公理系で基礎付けられるあらゆる理論（つまり普通の意味での数学）に出てくる対象はみんな集合です。（例えば、1,2,3のような数や、> のような関係も、x+1 のような式も、みんな集合です。）
　述語Pは集合ではない。けれども、P(x)が真になるような対象xを集めた集合Xが存在すれば、P(x) と言う代わりに x∈X で同じ命題を表すことができる。例えば述語
　　x≠x
が真になるような集合xを全部集めた集合は存在して、それは∅である。すなわち
　　∅ = { x | x≠x }
です。ですから、述語を集合で代替でき、ゆえに（述語同士を等号で結ぶことはできないけれども、その述語を満たす対象全部を集めた）集合同士を等号で結ぶことが可能になる。しかし、例えば述語
　　x∈x
が真になるような集合xを全部集めた集合は存在しない。（存在すると仮定すると矛盾が導かれる。「ラッセル(Russel)のパラドックス」と呼ばれます。）なので、述語を集合で代替するという手はいつでも使える訳ではない。

[3] 形式論理の問題として
　　ア*）pはqである。
　　ウ*）pとqは同じ。
の意味論を考えるとどうか。p,qに何を置くことができるかは、採用する（ってか、構築する）論理の体系によりますが、それが意味のある体系になるには、一般に「対象」を（「何でもアリ」じゃなくて）何らか限定して階層化する必要がある。（このあたりは「高階論理」の話です。）
　さて、ここで再び[1]の観点に戻ると、ご質問では、どういう限定があるのか（ないのか）が不明です。その不明を不明のままにしてひねくり回せば、おっしゃる通り「トンチ」にしかならないでしょう。

…てな話を並べておいて、さて、ご質問の意図をもう少し説明していただけると、またちょっと違う話になるのかも。

No.2 回答者： puyo3155 回答日時： 2021/01/04 10:05

質問が無意味かと。

最初のAと、次のAが、まったく同じなので、区別がつきませんから、質問になっていません。

ＡとＢならわかりますが・・・・

この回答へのお礼

本当にそうなのでしょうか？

「この質問は数学としては無意味」
これはいかなる場合でもそう言えるでしょうか？

根本的な部分で私は勘違いをしてるのでしょうか？

お礼日時：2021/01/04 11:12