すみませんが、タイトルの通り、超伝導のBCS理論で、
ギャップ方程式(ギャップは「丸」でOK)から、TCを
出す際に、∫tanh(x)/x)dx (x=0~α)の積分が出てきますが、
この結果ln(Aα)、但し、A=2exp(γ)/π、但し、γ=Eulerの定数、
を導出する具体的な計算方法が書いてある本をどなたか
教えていただけませんでしょうか。
(Tinkhan, Parks, Schrieffer等探しましたが、どれも「この
積分は計算できて、結果は、ln(Aα)である」としか書いて
ありませんでした、、、。級数か、複素積分で行けそうな
感じなのですが、、、、、。
すみません。よろしくお願いいたします。

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A 回答 (4件)

siegmund です.



もう物理の問題というより,定積分を求める数学の問題ですね.

blue_monkey さんの回答拝見しました.
なるほどね~.
(1)  ln x = lim_{s→1} x^{s-1}
を使ってうまくやるんですか.
ln x はタチが悪いから,べきの方にしておくということですね.

そういえば,統計力学で ln Z (Z は分配関数)を議論するのに,
レプリカをn個用意しておいて
(2)  ln Z = lim_{n→0} (Z^n - 1)/n
とするのもありました(スピングラスで有名なテクニック).
この式にロピタルの定理を適用すれば,一番上の式の形になります.

さて,
(3)  ∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^2) dτ=2^(2-s)*(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)
まで行ったのでしたら,あと一息です.
s-1 = t とおいて
(4)  2^(2-s) = 2*2^{-t}
(5)  1-2^(2-s) = 1 - 2*2^{-t}
(6)  Γ(s) = Γ(t+1)
(7)  ζ(s-1) = ζ(t)
で,t の1次まで拾えばよい.
(4')  2*2^{-t} = 2*{1 - (ln 2)t} + O(t^2)
(5')  1 - 2*2^{-t} = -1 + (2 ln 2)t + O(t^2)
(6')  Γ(t+1) = Γ(1) + Γ'(1)t + O(t^2)
        = 1 - γt + O(t^2)
(7')  ζ(t) = ζ(0) + ζ'(0)t +O(t^2)
       = -1/2 - {(ln 2π)/2} + O(t^2)
(6')では,Γ'(1) = Γ(1)ψ(1) と ψ(1) = -γ を使っています.
ψは di-gamma 関数.
(7')では,ζ(0) と ζ'(0) を岩波公式集のIIIから拾って来ました.

あとは,ていねいに t の1次の項を拾う単純計算で,
最終的に
(8)  lim_{s→1} {(3)式} = ln(π/4γ'),γ' = e^γ
が得られます.

こりゃ,なかなか大変だわ.

本当のことを言うとζ(0)やζ'(0)も公式集に書いてある値を拾ってきただけですから,
∫_0^∞ ln x cosh^{-2} x dx が知られている,
というのと大して変わらないような気もします.
まあ,公式集の公式を全部確認しながら使うというのも,とてもできない相談ですが...
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初めまして、blue_monkeyと言います。



【アドバイス】
参考本
(1)多粒子系の量子論:フェッタ/ワレッカ 
(2)A Course of Modern Analysis:E.T.WHITTAKER&G.N.WATOSON
利用できそうな公式は文献(1)に記述があり、公式の導出については文献(2)(寺寛の数学概論でもいいかも)の練習問題を参考にすれば導出できると思います。


【蛇足:積分の導出:読み捨ててください】
siegmund氏の回答と参考本を元に具体的な計算を途中まで進めてみました。
微分、積分、級数数和の順序の交換についての議論は棚上げとなっています。

【No1のsiegmund氏の回答より】

α
∫tanh(x)/x dx
x

=ln(x)*tanh(α)- ∫ln(x)/(cosh(x)*cosh(x)) dx (1)

第二項積分は、物理条件よりαは∽と近似できるものとして、0~∽まで積分を行うものとします。

【(1)式の第2項の積分の実行】
∫ln(x)/(cosh(x)*cosh(x)) dx

=lim (∂/∂s) ∫x^(s-1)/(cosh(x)*cosh(x)) dx    (2)
s→1


【(2)式の積分の実行】
∫x^(s-1)/(cosh(x)*cosh(x)) dx            (3)

(3)の積分を行うために、

ガンマー関数(Γ)と、ゼータ関数(ζ)を導入します。

Γ(s)=∫t^(s-1)*exp(-t) dt

ζ(s)=Σ1/n^(s)

次に以下の級数を考察します。

ΣΓ(s)*(-1)^(n)/n^(s-1)                (4)
n

=Σ(-1)^(n)/n^(s-1)*∫t^(s-1)*exp(-t) dt

=∫Σ(-1)^(n)/n^(s-1)*t^(s-1)*exp(-t) dt

=∫t^(s-1)*Σ(-1)^(n)*(-∂/∂t)exp(-n*t) dt

=∫t^(s-1)*(-∂/∂t)Σ(-1)^(n)*exp(-n*t) dt

=∫t^(s-1)*(-∂/∂t)(1/(1+exp(-t)) dt

=∫t^(s-1)*(-exp(-t)/(1+exp(-t))^(2)) dt

=-∫t^(s-1)*(1/(exp(t/2)+exp(-t/2))^(2)) dt

ここでτ=t/2と置くと、

=-(2)^(s)*∫τ^(s-1)*(1/(exp(τ)+exp(-τ))^(2)) dτ

=-(2)^(s-2)*∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ

と(4)式の級数は、(3)式の積分に等しいことが導出されました。

ΣΓ(s)*(-1)^(n)/n^(s-1)                

=-(2)^(s-2)*∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ (5)

Γ(s),ζ(s)の定義を用いて、

(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)

を計算すると、

(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)

=-ΣΓ(s)*(-1)^(n)/n^(s-1) (6)
n

((6)式の導出は、書く根性がなくなってきたので、省略します。)
(6)式に(5)式の結果を代入すると、

(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)

=(2)^(s-2)*∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ

上式を整理すると、

∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ=2^(2-s)*(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1) (7)

(7)式により(3)式の積分が、Γ関数とζ関数で表現されることがわかります。(7)式を(2)式に代入し、偏微分の計算と極限操作をすれば、おそらく所用の表現式が求まると考えています。最後まで計算していませんので、あしからず。

誤記、誤計算、ウソがありましたらゴメンナサイ。
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siegmund です.


数日留守にしていました.

う~ん,超伝導の理論の組み立てからすると,枝葉末節のことに思えるんですがね.
大事なことは ln α 依存性で,Aは定積分で表される定数であることが
わかっていればよいわけです.
必要なら数値積分すればよい.
γなどで表せたとしても,転移温度の式の数係数は普通 1.14 と書いていますし,
gap と Tc の比のところも 3.52 などと書いていますよね.

さて,
(1)  Σ_{n=0}^∞ [(2n+1)^2 π^2 + y^2]^(-1) = (1/4y) tanh (y/2)
を使うことにします.
x=y/2 で,前の数係数は適当に調整してください.
積分と和の順序を変えて,y 積分(y=0~a)を先にやります(a=α/2).
積分が arctan になるのは well-known で
(2)  [1/(2n+1)π] arctan[a/(2n+1)π]
ですが,これでは n 和が取れません.
a→∞ とすると arctan のところは π/2 になり,n 和は発散してしまいます.
もともと spinflip さんが書いた x 積分の式で,
上限を無限大にすると発散するのと同じです.
でも,a→∞ とすると対数発散ですね.
arctan[a/(2n+1)π] がπ/2 から大きくずれるのは a ~ (2n+1)π のあたりですから
ここらへんで n 和を切ってしまいましょう.
そうすると係数は別にして,1/(2n+1) のタイプの和で,
上限がかなり大きいわけです.
このタイプの和は,digamma 関数と Euler 定数γで書けますから
(岩波公式集のIIIに出ています),
digamma 関数の漸近展開と組み合わせて,求める結果が出ます.
本当は近似の order estimation をやらないといけませんが,さぼりました.

細かい検討はおまかせします.

なお,(1)の形になるのは偶然ではありません.
温度グリーン関数形式で,(k,ωn) の電子と (-k,-ωn) の電子のペアの
温度グリーン関数がまさに 1/(ε^2 + ωn^2)になっています.
ωn=(2n+1)πT (電子の松原振動数),ε=(k^2/2m)-ε(F),
ε(F) はフェルミエネルギーです.
この形式でグリーン関数の分母を見ると,εの上限を設定するのも,
ωnの上限を設定するのもほとんど同じだということがわかります.
εの上限(はじめの式に戻れば x の上限)を n の上限にすり替えたのが
上の議論です.

(ln x) / cosh^2 x の積分を直接計算するのはどうも思い出せません.
どっかで見たことがあるんですが...
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最近難しい質問が多いな~(^^;)



今手元に適当な本がありませんが,以下のようなことです.

α = 2 (h/2π) ω_D / k_B T_c で,弱結合の話ですから,
αは十分大きい.

まず,x → ∞ のとき,tanh x → 1 ですから,
被積分関数 f(x) は x が大きいとき 1/x のように振る舞います.
これが ln α の起源です.
物理的に大事なことは ln α 依存性です.
A は大して重要ではありません.

一方,x → 0 では,f(x) → 1 です.

じゃあ,荒っぽく
  f(x) = 1/x  (x > 1)
  f(x) = 1   (x < 1)
として積分してみてください.
  ∫_0^α f(x) dx = 1 + ln α = ln (eα)
どこで積分を切り替えるかで,e のところが少し変わりますね.

部分積分すれば
  ∫_0^α f(x) dx = (ln α) tanh α - ∫_0^α {(ln x) / cosh^2 x} dx
ですが,αは十分大きいから,右辺第1項は ln α でOK.
第2項の積分はα=∞として(被積分関数の x→∞ での漸近形を考えてください),
単なる定数を与える定積分になります.
必要なら数値積分すればよろしい.
なお,この定積分が ln A になることが知られています.
Γ関数の積分表示を応用するのだったと思いますが,
詳細はいまちょっと思い出せません.
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この回答へのお礼

大変、ありがとうございます。感激しております。

>>なお,この定積分が ln A になることが知られています.
ただ、ここまではParks-Iに載っていました。

>>Γ関数の積分表示を応用するのだったと思いますが,
最後の、この情報(!)を元に、今、久し振りに、
岩波の数学公式IIIを、睨んでおるのですが、日頃の不勉強
のために、未だ導出できません、、、。すみません。
積分表記は、digammaではなくて、gamma(Γ)なのでしょうか。
もうしわけありませんが、方針|参考書等わかりましたら
よろしくお願いいたします。

P.S.------------------------------------------------
最初、「実軸にカットを入れて原点の周りで一回転して往復すれば
出るじゃん、あとはcosh^-2の留数拾うだけだな」と思ったのですが、
log(x)にカットを入れても、log(x・e^(2πi))=log(x)+2πi
となってしまい、被積分関数が消えてしまいました、、、。
うーん。情けない、、、、。

お礼日時:2001/08/24 14:12

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k1=Δt*(tan(x))^2
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のグラフの概形を描いて、大雑把な近似解を求め、それを使って計算すればよい。
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x11,x12=±18.8300...
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参考URL:http://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/lecture/2005/5E/nonlinear_equation/text/html/node4.html

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c=(y0*e^-rt0)/(m-y0)となるらしいのですが
なぜこうなるのか分かりません。
計算過程を教えてください。

また、このcをy=(Mc*e^rt)/(1+c*e^rt)に代入すると
y=(My0*e^r(t-t0)/(M-y0+y0*e^r(t-t0))となるらしいです。
この計算方法もわからないです。
教えてください。

ちなみにこの計算は人口予測を求めるロジスティック方程式の理論解を導出する過程
ででてくるものです。

Aベストアンサー

>y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
>ただし、t=t0の時、y=y0となります。)

 この式は、次の式のことですね。
  y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

 ここで計算過程を簡略化させるため exp(r*t0)=T とおきます。
 ∴y0=McT/(1+cT)

 以下、式変形を進めていきます。
 y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)  (M≠0なら)
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)   (分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。)
⇔cT=M/(M-y0)-1
⇔cT=y0/(M-y0)
⇔c=y0*T^(-1)/(M-y0)
∴c=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)

 また、この c を c*exp(rt) に代入すると次のようになります。
 c*exp(rt)
=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)*exp(rt)
=y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)

 したがって、y はつぎのようになります。
y=M*c*exp(r*t)/{1+c*exp(r*t)}
=M*y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)/[1+y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)]
=M*y0*exp{r(t-t0)}/[(m-y0)+y0*exp{r(t-t0)}]

>y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
>ただし、t=t0の時、y=y0となります。)

 この式は、次の式のことですね。
  y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

 ここで計算過程を簡略化させるため exp(r*t0)=T とおきます。
 ∴y0=McT/(1+cT)

 以下、式変形を進めていきます。
 y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)  (M≠0なら)
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)   (分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。)
⇔cT=M/(M-y0)-1
⇔cT=y0/(M...続きを読む

Qせん断ひずみ γ=2ε の証明

ひずみゲージを使ったねじり試験において、
実験で得られたひずみの値を補正する場合以下の式に代入する

ε[1]=(2/K)ε[2]  (1)

ただし、ε[1]=真のひずみ ε[2]=測定したひずみ K=ゲージ率
 また、せん断ひずみγは、ねじり試験によって得られたひずみを(1)式で補正し、(2)式に代入して計算する。

γ=2ε       (2)

質問!!!
 この場合の(2)式の証明をしたいんですけれど、どなたか教えていただけませんか???お願いします。

Aベストアンサー

正方形が剪断変形すると菱形になる.このとき一方の対角線は伸び,
他方は縮むが,前者を一辺とする直角二等辺三角形を考える.
(↓のページの図を参照.)
http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/~sai/zairiki.d/Syllubus/node7.html

この直角二等辺三角形の斜辺は伸び,
2つの45°の角は,それぞれθ1,θ2だけ小さくなる.
(剪断歪の定義:γ=θ1+θ2 (ラジアン))

したがって直角だった角は 90°+γ に広がる.
一辺の長さをLとすると,斜辺の長さは余弦定理により

√(L^2 + L^2 - 2 * L^2 * cos(90°+ γ))
= √((2 * L^2) * (1 - cos(90°+ γ)))
= (√2) * L * √(1 + sinγ)

もとの斜辺の長さは (√2) * L だったので,斜辺の垂直歪εは

ε = (√2) * L * √(1 + sinγ) / ((√2) * L) - 1
= √(1 + sinγ) - 1.

xが十分小さければ sin x ≒ x,√(1 + x) ≒ 1 + x/2 なので,
γが十分小さければ
ε ≒ √(1 + γ) - 1
≒ γ/2.

正方形が剪断変形すると菱形になる.このとき一方の対角線は伸び,
他方は縮むが,前者を一辺とする直角二等辺三角形を考える.
(↓のページの図を参照.)
http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/~sai/zairiki.d/Syllubus/node7.html

この直角二等辺三角形の斜辺は伸び,
2つの45°の角は,それぞれθ1,θ2だけ小さくなる.
(剪断歪の定義:γ=θ1+θ2 (ラジアン))

したがって直角だった角は 90°+γ に広がる.
一辺の長さをLとすると,斜辺の長さは余弦定理により

√(L^2 + L^2 - 2 * L^2 * cos(90°...続きを読む


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