BCSのギャップ方程式からTCを出す際の積分

すみませんが、タイトルの通り、超伝導のBCS理論で、
ギャップ方程式(ギャップは「丸」でOK)から、TCを
出す際に、∫tanh(x)/x)dx (x=0～α)の積分が出てきますが、
この結果ln(Aα)、但し、A=2exp(γ)/π、但し、γ=Eulerの定数、
を導出する具体的な計算方法が書いてある本をどなたか
教えていただけませんでしょうか。
(Tinkhan, Parks, Schrieffer等探しましたが、どれも「この
積分は計算できて、結果は、ln(Aα)である」としか書いて
ありませんでした、、、。級数か、複素積分で行けそうな
感じなのですが、、、、、。
すみません。よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2001/08/24 00:29

最近難しい質問が多いな～(^^;)

今手元に適当な本がありませんが，以下のようなことです．

α = 2 (h/2π) ω_D / k_B T_c で，弱結合の話ですから，
αは十分大きい．

まず，x → ∞ のとき，tanh x → 1 ですから，
被積分関数 f(x) は x が大きいとき 1/x のように振る舞います．
これが ln α の起源です．
物理的に大事なことは ln α 依存性です．
A は大して重要ではありません．

一方，x → 0 では，f(x) → 1 です．

じゃあ，荒っぽく
　　f(x) = 1/x　　(x > 1)
　　f(x) = 1　　　(x < 1)
として積分してみてください．
　　∫_0^α f(x) dx = 1 + ln α = ln (eα)
どこで積分を切り替えるかで，e のところが少し変わりますね．

部分積分すれば
　　∫_0^α f(x) dx = (ln α) tanh α - ∫_0^α {(ln x) / cosh^2 x} dx
ですが，αは十分大きいから，右辺第１項は ln α でＯＫ．
第２項の積分はα=∞として(被積分関数の x→∞ での漸近形を考えてください)，
単なる定数を与える定積分になります．
必要なら数値積分すればよろしい．
なお，この定積分が ln A になることが知られています．
Γ関数の積分表示を応用するのだったと思いますが，
詳細はいまちょっと思い出せません．

この回答へのお礼

大変、ありがとうございます。感激しております。

>>なお，この定積分が ln A になることが知られています．
ただ、ここまではParks-Iに載っていました。

>>Γ関数の積分表示を応用するのだったと思いますが，
最後の、この情報(!)を元に、今、久し振りに、
岩波の数学公式IIIを、睨んでおるのですが、日頃の不勉強
のために、未だ導出できません、、、。すみません。
積分表記は、digammaではなくて、gamma(Γ)なのでしょうか。
もうしわけありませんが、方針｜参考書等わかりましたら
よろしくお願いいたします。

P.S.------------------------------------------------
最初、「実軸にカットを入れて原点の周りで一回転して往復すれば
出るじゃん、あとはcosh^-2の留数拾うだけだな」と思ったのですが、
log(x)にカットを入れても、log(x・e^(2πi))=log(x)+2πi
となってしまい、被積分関数が消えてしまいました、、、。
うーん。情けない、、、、。

お礼日時：2001/08/24 14:12

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2001/08/29 00:18

siegmund です．

数日留守にしていました．

う～ん，超伝導の理論の組み立てからすると，枝葉末節のことに思えるんですがね．
大事なことは ln α 依存性で，Ａは定積分で表される定数であることが
わかっていればよいわけです．
必要なら数値積分すればよい．
γなどで表せたとしても，転移温度の式の数係数は普通 1.14 と書いていますし，
gap と Tc の比のところも 3.52 などと書いていますよね．

さて，
(1)　　Σ_{n=0}^∞ [(2n+1)^2 π^2 + y^2]^(-1) = (1/4y) tanh (y/2)
を使うことにします．
x=y/2 で，前の数係数は適当に調整してください．
積分と和の順序を変えて，y 積分(y=0～a)を先にやります(a=α/2)．
積分が arctan になるのは well-known で
(2)　　[1/(2n+1)π] arctan[a/(2n+1)π]
ですが，これでは n 和が取れません．
a→∞ とすると arctan のところは π/2 になり，n 和は発散してしまいます．
もともと spinflip さんが書いた x 積分の式で，
上限を無限大にすると発散するのと同じです．
でも，a→∞ とすると対数発散ですね．
arctan[a/(2n+1)π] がπ/2 から大きくずれるのは a ～ (2n+1)π のあたりですから
ここらへんで n 和を切ってしまいましょう．
そうすると係数は別にして，1/(2n+1) のタイプの和で，
上限がかなり大きいわけです．
このタイプの和は，digamma 関数と Euler 定数γで書けますから
(岩波公式集のIIIに出ています)，
digamma 関数の漸近展開と組み合わせて，求める結果が出ます．
本当は近似の order estimation をやらないといけませんが，さぼりました．

細かい検討はおまかせします．

なお，(1)の形になるのは偶然ではありません．
温度グリーン関数形式で，(k,ωn) の電子と (-k,-ωn) の電子のペアの
温度グリーン関数がまさに 1/(ε^2 + ωn^2)になっています．
ωn=(2n+1)πT (電子の松原振動数)，ε=(k^2/2m)-ε(F)，
ε(F) はフェルミエネルギーです．
この形式でグリーン関数の分母を見ると，εの上限を設定するのも，
ωnの上限を設定するのもほとんど同じだということがわかります．
εの上限(はじめの式に戻れば x の上限)を n の上限にすり替えたのが
上の議論です．

(ln x) / cosh^2 x の積分を直接計算するのはどうも思い出せません．
どっかで見たことがあるんですが...

No.3 回答者： noname#2380 回答日時： 2001/09/04 02:37

初めまして、blue_monkeyと言います。

【アドバイス】
参考本
(1)多粒子系の量子論：フェッタ/ワレッカ　
(2)A Course of Modern Analysis：E.T.WHITTAKER&G.N.WATOSON
利用できそうな公式は文献(1)に記述があり、公式の導出については文献(2)（寺寛の数学概論でもいいかも）の練習問題を参考にすれば導出できると思います。


【蛇足：積分の導出：読み捨ててください】
siegmund氏の回答と参考本を元に具体的な計算を途中まで進めてみました。
微分、積分、級数数和の順序の交換についての議論は棚上げとなっています。

【No1のsiegmund氏の回答より】

α
∫tanh(x)/x dx
x

=ln(x)*tanh(α）- ∫ln(x)/(cosh(x)*cosh(x)) dx (1)

第二項積分は、物理条件よりαは∽と近似できるものとして、0～∽まで積分を行うものとします。

【(1)式の第2項の積分の実行】
∫ln(x)/(cosh(x)*cosh(x)) dx

=lim (∂/∂s) ∫x^(s-1)/(cosh(x)*cosh(x)) dx　　　　(2)
s→1


【(2)式の積分の実行】
∫x^(s-1)/(cosh(x)*cosh(x)) dx　　　　　　　　　　　　(3)

(3)の積分を行うために、

ガンマー関数(Γ）と、ゼータ関数（ζ）を導入します。

Γ(s)=∫t^(s-1)*exp(-t) dt

ζ(s)=Σ1/n^(s)

次に以下の級数を考察します。

ΣΓ(s)*(-1)^(n)/n^(s-1)　　　　　　　　　　　　　　　　(4)
n

=Σ(-1)^(n)/n^(s-1)*∫t^(s-1)*exp(-t) dt

=∫Σ(-1)^(n)/n^(s-1)*t^(s-1)*exp(-t) dt

=∫t^(s-1)*Σ(-1)^(n)*(-∂/∂t)exp(-n*t) dt

=∫t^(s-1)*(-∂/∂t)Σ(-1)^(n)*exp(-n*t) dt

=∫t^(s-1)*(-∂/∂t)(1/(1+exp(-t)) dt

=∫t^(s-1)*(-exp(-t)/(1+exp(-t))^(2)) dt

=-∫t^(s-1)*(1/(exp(t/2)+exp(-t/2))^(2)) dt

ここでτ=t/2と置くと、

=-(2)^(s)*∫τ^(s-1)*(1/(exp(τ)+exp(-τ))^(2)) dτ

=-(2)^(s-2)*∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ

と(4)式の級数は、(3)式の積分に等しいことが導出されました。

ΣΓ(s)*(-1)^(n)/n^(s-1)　　　　　　　　　　　　　　　　

=-(2)^(s-2)*∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ (5)

Γ(s),ζ(s)の定義を用いて、

(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)

を計算すると、

(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)

=-ΣΓ(s)*(-1)^(n)/n^(s-1) (6)
n

((6)式の導出は、書く根性がなくなってきたので、省略します。）
(6)式に(5)式の結果を代入すると、

(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)

=(2)^(s-2)*∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ

上式を整理すると、

∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ=2^(2-s)*(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1) (7)

(7)式により(3)式の積分が、Γ関数とζ関数で表現されることがわかります。(7)式を(2)式に代入し、偏微分の計算と極限操作をすれば、おそらく所用の表現式が求まると考えています。最後まで計算していませんので、あしからず。

誤記、誤計算、ウソがありましたらゴメンナサイ。

No.4 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2001/09/06 13:28

siegmund です．

もう物理の問題というより，定積分を求める数学の問題ですね．

blue_monkey さんの回答拝見しました．
なるほどね～．
(1)　　ln x = lim_{s→1} x^{s-1}
を使ってうまくやるんですか．
ln x はタチが悪いから，べきの方にしておくということですね．

そういえば，統計力学で ln Z (Z は分配関数)を議論するのに，
レプリカをｎ個用意しておいて
(2)　　ln Z = lim_{n→0} (Z^n - 1)/n
とするのもありました(スピングラスで有名なテクニック)．
この式にロピタルの定理を適用すれば，一番上の式の形になります．

さて，
(3)　　∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^2) dτ=2^(2-s)*(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)
まで行ったのでしたら，あと一息です．
s-1 = t とおいて
(4)　　2^(2-s) = 2*2^{-t}
(5)　　1-2^(2-s) = 1 - 2*2^{-t}
(6)　　Γ(s) = Γ(t+1)
(7)　　ζ(s-1) = ζ(t)
で，t の１次まで拾えばよい．
(4')　　2*2^{-t} = 2*{1 - (ln 2)t} + O(t^2)
(5')　　1 - 2*2^{-t} = -1 + (2 ln 2)t + O(t^2)
(6')　　Γ(t+1) = Γ(1) + Γ'(1)t + O(t^2)
　　　　　　　　= 1 - γt + O(t^2)
(7')　　ζ(t) = ζ(0) + ζ'(0)t +O(t^2)
　　　　　　　= -1/2 - {(ln 2π)/2} + O(t^2)
(6')では，Γ'(1) = Γ(1)ψ(1) と ψ(1) = -γ を使っています．
ψは di-gamma 関数．
(7')では，ζ(0) と ζ'(0) を岩波公式集のIIIから拾って来ました．

あとは，ていねいに t の１次の項を拾う単純計算で，
最終的に
(8)　　lim_{s→1} {(3)式} = ln(π/4γ')，γ' = e^γ
が得られます．

こりゃ，なかなか大変だわ．

本当のことを言うとζ(0)やζ'(0)も公式集に書いてある値を拾ってきただけですから，
∫_0^∞ ln x cosh^{-2} x dx が知られている，
というのと大して変わらないような気もします．
まあ，公式集の公式を全部確認しながら使うというのも，とてもできない相談ですが...