【数学3】 説明できる方お願いします。 写真の黒文字の関数を微分する時、青のようにしてはいけないのは

【数学3】
説明できる方お願いします。
写真の黒文字の関数を微分する時、青のようにしてはいけないのは何故ですか？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/13 10:27

y=1/x^5

の微分
を
y'=1/(5x^4)としていいと仮定すると

y=1/x
の微分
を
y'=1/1=1
と
していい事になってしまい
y=x
の微分
y'=1
と同じになるのはおかしいと思いませんか?

y=f(x)=1/x
とすると
微分の定義から
y'
=f'(x)
=lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h
=lim_{h→0}{1/(x+h)-1/x}/h
=lim_{h→0}{x-(x+h)}/{(x+h)xh}
=lim_{h→0}(-h)/{(x+h)xh}
=lim_{h→0}(-1)/{(x+h)x}
=-1/x^2

y'=-1/x^2
だから
y'=1になりません
だから
y=1/x^5の微分もy'=1/(5x^4)としてはいけません
y'=-5/x^6

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/05/12 20:44

分数関数の微分公式

f(x)/g(x) の微分は、{f'(x)g(x)－f(x)g'(x)}/{g(x)}²

f(x)=1 のとき、f'(x)=0 より、
1/g(x) の微分は、{0・g(x)－1・g'(x)}/{g(x)}²=－g'(x)/{g(x)}²
1/g'(x) とはなりません。

1/x⁵ の微分は、－(x⁵)'/(x⁵)²=－5x⁴/x^10=－5/x⁶

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/12 20:20

y=f(x)=1/x^5

微分の定義から

f'(x)
=lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h
=lim_{h→0}{1/(x+h)^5-1/x^5}/h
=lim_{h→0}{x^5-(x+h)^5}/{hx^5(x+h)^5}
=lim_{h→0}-h{x^4+x^3(x+h)+x^2(x+h)^2+x(x+h)^3+(x+h)^4}/{hx^5(x+h)^5}
=lim_{h→0}-{x^4+x^3(x+h)+x^2(x+h)^2+x(x+h)^3+(x+h)^4}/{x^5(x+h)^5}
=lim_{h→0}-1/{x(x+h)^5}-1/{x^2(x+h)^4}-1/{x^3(x+h)^3}-1/{x^4(x+h)^2}-1/{x^5(x+h)}
=-5/x^6

となるから