「どんな距離からもノルムが定義できるか？」答えはNOです。 {0}でない任意のベクトル空間Xに対して

「どんな距離からもノルムが定義できるか？」答えはNOです。 {0}でない任意のベクトル空間Xに対して、d(x,y):X×X→Rを
d(x,y)=0 (x=y)
d(x,y)=1 (x≠y)
と定めれば、これは距離ですが、どんなノルムからも定まりません。
実際、もしこのd(x,y)が、あるノルム||・||から定まるとすると|
d(x,y)=||x-y||
が成り立つのでy=0, x≠0に対して
1=d(x,0)=||x||
だが、
1=d(2x,0)=||2x||=2||x||=2
となり矛盾。 このような回答を知恵袋で見かけましたが、 実際、もしこのd(x,y)が、あるノルム||・||から定まるとすると|
d(x,y)=||x-y||
が成り立つ というのは、誤りですよね？正しくは、任意のx,yに対して、あるε≧0があって、d(x,y)=ε||x-y||となる ですよね？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/21 03:16

そこは「ノルムからどのように距離を誘導するか」って話で, 「ノルム ||・|| から誘導される距離 d(x, y)」を

d(x, y) = ||x-y||
と定義するのだとしたら, 「ある ε」を持ち出すのは却っておかしい. あとその「ある ε」を導入しなければならない「本質的ななにか」って, なに?

というか, 「どんな距離からもノルムが定義できるか？」という問に対して「どんなノルムからも定まらない距離」を与えて「答えはNO」とするところを問題視すべきじゃないのかなぁ.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/21 09:37

d(x,0) がノルムなんだけどな。