曲面の単位法線ベクトルと接平面の方程式

曲面　Z-e^(5-x^2-y^2)=0 上の点　P(2,1,1)において　曲面の単位法線ベクトルと接平面の方程式を求めなさい

息子が悩んでいるので教えてください

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/28 13:29

公式から

単位法線ベクトル
　(∂Z/∂x)×(∂Z/∂y)/|(∂Z/∂x)×(∂Z/∂y)|

(a,b,c)の接平面
Z-c={(∂Z/∂x)(a,b)}(x-a)+{(∂Z/∂y)(a,b)}(y-b)

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2021/05/28 19:33

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/28 19:32

f(x,y,z) = z - e^(5-x^2-y^2) = 0 の法線ベクトルは、

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
　　= (2xe^(5-x^2-y^2), 2ye^(5-x^2-y^2), 1)　　； 普通に偏微分
　　= (2xz, 2yz,1)　　； f(x,y,z)=0により変形
なので、(x,y,z) = (2,1,1) の点では　
∇f = (4,2,1) です。

単位法線ベクトルは、 ±(4,2,1)/｜(4,2,1)｜ = ±(4/√21, 2/√21, 1/√21).

接平面の方程式を書くときには、法線ベクトルは単位長である必要はないので、
(4,2,1)・(x,y,z) = C　　； Cは定数
と置いて (x,y,z) = (2,1,1) を代入すると、 C = 11.
式は 4x+2y+z = 11 です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/05/28 19:33