ピタゴラス音階について教えてください。

音階の成り立ちを調べていたのですが、
ドラミファソラシドを最初に作ったのはピタゴラスさんらしく、
https://ja.wikipedia.org/wiki/ピタゴラス音律
↑上のページによると、「音階の全ての音と音程を周波数比3:2の純正な完全五度の連続から導出する音律である」と書いてあるので、
https://tomari.org/main/java/oto.html←このページを元に、27.500(ラ) から、実際に1.5倍をしたのですが、出た答えは41.25で、ミの周波数である41.203から少しずれてしまいました。
もう一度、私が出した答えの41.25から1.5倍をしたら61.875になり、またずれて、
何回計算しても、私の答えと実際の周波数がずれてしまいます。
ピタゴラス音階は単純な計算ではダメなのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/29 15:17

「音律」は、ちょっと深入りすると「どつぼ」にはまりますので、ほどほどに。

現在ピアノの調律などに使われている「音律」は「十二平均律」と呼ばれるもので、「オクターヴ」（振動数で2倍）を「等比的に12等分」つまり「12乗根」したものが「半音」になります。
これは極めて「数学的」に決めた振動数であり、「耳で聞いて決めた」音律とは「微妙な誤差」を持ちます。

ピタゴラス音律は、「純正5度」つまり「振動数で 1.5 倍」「振動数比で 2:3」を基準にして音を定めていく音律です。「純正5度」は、人間の耳にはっきりと分かる特別な響きがします。
これで、いわゆる音階に相当するものを作り、たとえば「ド」から始めて「５度上」の音を順次決めていくと
　ド→ソ→レ→ラ→ミ→シ→ファ♯→ド♯→ソ♯→レ♯→ラ♯→ファ→ド
となって、12回目に7オクターヴ上の同じ音に戻ってくるはずです。
この振動数比は
　1.5^12 = 129.7463･･･
となって、本来の7オクターヴ
　2^7 = 128
とは一致しません。
これが有名な「ピタゴラスのコンマ」と呼ばれるもので、「神は、音律の世界では完全なものを作らなかった」と言われるゆえんです。

ここから先、「耳で聞いた音律（響きの美しさ）」と「数学的な音律」は、常に「近似」と「耳の妥協」の歴史をたどって今日に至っています。

「耳で聞いて美しい響き」になる音律は「純正率」と呼ばれますが、自由な転調ができないという制約があります。
「数学的に均等」になる「平均律」は、どの調にしても相互関係が等しくなるので、自由な転調を可能にしますが、その響きはやや「濁って」います。

現代では、この「平均律の便利さ」を優先して使うことが多いですが、それは「耳を少しごまかしている」ということをしているのです。

現在使っている「十二平均律」を人間の耳で正確に調律することは難しく、19世紀以前、バッハやベートーヴェンの時代にはいわゆる「古典調律」と呼ばれる「ヴェルクマイスター法」とか「キルンベルガー法」といった調律方法が使われていたようです。なので、バッハやベートーヴェン楽器ていた響きは、厳密には現代人がきく響きとは違っていた可能性があります。
ただし、これらは「ピアノなどの鍵盤楽器」での話であり、ヴァイオリンなどの弦楽器や管楽器では奏者によって微妙に音程が調整できるので、巧みに「純正率」に近い響きに修正して演奏しています。それは現代でも同じです。

興味があれば、下記などの「古典調律」を紐解いてみてください。
↓
http://voce.main.jp/MameChisiki/Tyouritu.htm
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8 …

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/05/29 11:28

とりあえず、小方厚「音律と音階の科学」 がわかりやすいかな。

　ピタゴラス音階のまんまではどうしても辻褄が合わなくなるんで、半端（No.2でご紹介の「ピタゴラスのコンマ」）をどう分散させて調整するかについて、いろんな調律法が工夫された。しかしどの調律法でも、ある音程の和音（2音から成る和音、つまり音程）は濁りがないのに、別の和音は酷く濁る。どれが濁るかは調律法によって違うわけです。そこで、調律法を選んで作曲し、濁りの少ない和音だけを使って作曲する必要がある。不自由である上に、そういう楽曲を移調すると、大抵ひどい濁りが生じて、元の曲とは全然違う響きになってしまうし、別の調律法に基づいて作られた曲は、調律し直さないとまともに演奏できない。

　一方、今のピアノは12平均律（12音平均律）で調律されている。（いや実は微妙に違うのだが、ま、それはさておき。）平均律だとあらゆる和音がソコソコ濁っている。濁らない和音はない代わりに、主要な和音（2つの構成音の周波数の比が、小さい整数同士の比にごく近い音程）のうち耐え難いほど酷い濁りになるものはない。濁ってて何がいけないのさ、という発想の転換をしたんです。この12平均律をJ.S.バッハは「インベンション（発明）」と呼んだ。平均律だと、移調したとき、どの和音についてもその濁りの程度は変化がなく、だから曲の響きは変わらない。なので、移調が自由にできる。ということは、さらに、曲の途中でどんな調にでも転調できるってことでもあります。
　12平均律が普及するより前に作曲された（特定の調律法に従った）楽曲を平均律で演奏すると、当然、本来の音色とは違う印象になる。なので平均律なんか使わないぞというマニアックな演奏家もいますけれど、いや、フツーの人がボケっと聞いている分にはまず気がつかない。12平均律の和音の濁りに慣れちゃってるからかもしれません。

　さて、平均律にも色々ある。例えば19平均律は1オクターブを均等に19音に分ける。これだと主要な和音の濁りをかなり少なくできるんですが、ま、めったに使われない。というのも第一に、オクターブに12個しかキーがない楽器の調律には使えない。いわゆるウチコミになら使えます（実際、19平均律の機能を持つ作譜ソフトを使ってます）が、しかし19平均律に固有の和音体系を勉強しないと使いこなせない。

　ところで、楽器の種類によっては、単音ごとの調律なんかできない構造で、しかも平均律とはちょっとずれた音階しか出せないものがある、ってか、民族楽器は大抵そうです。他の楽器との合奏では気合いと技術で微調整するにしても、ソロ演奏だとその楽器固有の自然な音階を使う。 J.G.Albrechtsbergerの Concerto for Jew' Harpは典型でしょう。（なお、最初の1分ほどのintroは、関係ないんで無視してくだされ。）

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/29 02:16

いちおうほそく.

あなたのように計算していけば「(正しい) ピタゴラス音階」ができるんだけど, それでできる音階は「12音平均律による音階」とは違うものになる. あなたが下に書いたページの音程は平均律に基づいているので, ピタゴラス音律を使って計算すれば必然的に結果は異なる.

ピタゴラス音律では「完全5度上下する」ことで各種の音高を作り出しているんだけど, 「完全5度上げる」操作を 12回やると実際には 7オクターブ上よりもちょっとだけ高い音になっちゃう. この差がピタゴラスコンマ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF …
で, そのせいで「平均律だと異名同音になるはずの 2つの音がピタゴラス音律だと異名異音になる」とか「本来同じ音程なのに基音によって違う音程になる」という問題が発生する.

この問題を「ピタゴラスコンマを 12個の『完全5度』に均等に分配する (結果『不完全』な 5度になる)」ことで解消したのが今の 12音平均律で, これを使うと
間の半音の数が同じならどの 2つの音に対しても同じように「よく」 (あるいは「悪く」) 響く
ようになる.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2021/05/30 21:11

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/29 01:35

ピタゴラス音律を使っても平均律の音階は出ないよ.

この回答へのお礼

そうなのですか？
ピタゴラス音律を誤解していました

お礼日時：2021/05/29 01:38