統計学 連続確率変数 の問題について教えて下さい！

問題）
1 ヶ月の 1 人暮らしの水道使用量（単位：㎥ ）は連続型確率変数X で表され、正の定数a を用
いて、その確率密度関数 f(x) が次のように与えられる。

f(x) = { a(1 - x/20) (0≤x≤20)
0 (x<0 または 20<x)

また、水道使用料金は、0≤x<10 の水道使用量に対して 1000円 、10≤x<15 の水道使用量に対して
1120円 、15≤x の 水道使用量に対しては 1280円 とする。


問１）定数aの値を求めよ

問２）一か月の水道使用量の期待値を求めよ

問３）一か月の水道使用料金の期待値を求めよ


という問題なのですが、
恐らく初歩的な定数aの求め方すらわかりません…

わかる方がいましたら教えていただきたいです…

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/30 11:23

＞問１）定数aの値を求めよ

「確率」なのだから、全体をすべて網羅すれば「1」になる。
関数の場合には、「全定義域で積分する」ということ。

＞問２）一か月の水道使用量の期待値を求めよ

「期待値」とは、「実現値」と「その確率」の積を、やはり「全定義域で積分」したもの。

＞問３）一か月の水道使用料金の期待値を求めよ

考え方は「２」と同じ。「実現値」である「料金」が、「定義域」の範囲内で変化するので、それを反映する。


方針が分かれば、あとは単純な積分計算だけ。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/30 12:04

速攻削除されるやつだけど、黙々と計算しとこう。

問１）
1 = ∫[-∞,+∞]f(x)dx = ∫[0,20]a(1 - x/20)dx
　= a∫[0,20](1 - x/20)dx = a[ x - x^2/40 ]_(0,20).
より、
a = 1/{ (20 - 20^2/40) - 0 } = 1/10.

問２）
∫[-∞,+∞]xf(x)dx = ∫[0,20](x/10)(1 - x/20)dx
　= ∫[0,20](x/10 - x^2/200)dx = [ x^2/20 - x^3/600 ]_(0,20)
　= (20^2/20 - 20^3/600) - 0 = 20/3.

問３）
水道使用量 x に対する水道使用料金 y は、
0 ≦ x < 10 に対して y = 1000,
10 ≦ x < 15 に対して y = 1120,
15 ≦ x に対して y = 1280.
これを使って、
∫[-∞,+∞]yf(x)dx = ∫[0,10]yf(x)dx + ∫[10,15]yf(x)dx + ∫[15,20]yf(x)dx
　= ∫[0,10]1000f(x)dx + ∫[10,15]1120f(x)dx + ∫[15,20]1280f(x)dx
　= 100∫[0,10](1-x/20)dx + 112∫[10,15](1-x/20)dx + 128∫[15,20](1-x/20)dx
　= 100[ x-x^2/40 ]_(0,10) + 112[ x x^2/40 ]_(10,15) + 128[ x-x^2/40 ]_(15,20)
　= 100{ (10-10^2/40) - 0 } + 112{ (15-15^2/40) - (10-10^2/40) } + 128{ (20-20^2/40) - (15-15^2/40) }
　= (100-112)(10-10^2/40) + (112-128)(15-15^2/40) + 128{ (20-20^2/40)
　= 1040.

この回答へのお礼

お二方ありがとうございました！
難しいですね…
時間をかけて解いてみます。

お礼日時：2021/05/30 14:35