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No.9ベストアンサー
- 回答日時:
教科書風の証明としては、No.7さんの雰囲気で、
(1)接点を通る半径に垂直に交わってる直線を考えると、この直線は、接線の時以外は円といつでも2点で交わっています。そして、合同な2つの直角三角形が常に現れていています。
(2)ここで、この直線と半径の交点を接点に近づくように直線を動かしていくと、2つの交点は、今考えている半径に対して、左右対称の位置のまま接点に近づいていきます。
(3)そして、直線と半径との交点が接点の位置になったとき、この2つの交点は一致して、それは接点の位置になります。そしてこのとき、直線は接線となり、いま考えている半径に対して垂直のままです。
こんな感じですが・・・。
No.12
- 回答日時:
かなり昔に同じ質問をしたことがあります。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=150127
No5がわかりやすかったです。
#同じ質問でこれだけ回答数が違うのは3年半の間にこれだけユーザーが増えたってことなのかなぁ。
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=150127
大変遅くなって申し訳ありません。
背理法はやっぱりよくわかりませんでした。
私には、NO.3さんの回答がわかりやすかったです。
接弦定理、つい最近習ったところだったので。
回答ありがとうございました。
No.11
- 回答日時:
これは中学生でも解けますよ。
(私が中1の時幾何の授業で習いました。因みに今高1です。)これは「円の接線は接点を通る半径に垂直である」を証明するのではなく、まず
「円の半径の端点を通る直線の中で、その半径に垂直な直線は垂線であり、(垂直でないものは割線である)」
という《定理》を証明します。
(証明)
円Oの周上の一点をTとし、OTに垂直な直線をABとする。AB上のTと異なる点をT'とするとOT'は直角三角形OTT'の斜辺であるから OT'>OTである。よってT'は円Oの周上のにはない。円Oと直線ABはただ一つの点Tを共有するから直線ABは円Oの接線である。
次に円Oの周上の点をAとし、Aを通りOAに垂直でない直線lにOより垂線OMを引く。AMの延長上にBをとりAM=BMになるようにすると
AM=BM・OM共通・∠AMO=∠BMO=∠R(90度)より
△OAM=△OBM(二辺夾角相当)
∴OA=OB(=半径)
よりBは円Oの周上にある。円Oと直線lは2点A、Bを共有するから直線lは円Oの割線である。
Q.E.D.(証明終了)
以上より「接点を通る半径に垂直な直線は垂線」であることが証明できました。これは定理です。次に質問であった、「円の接線は、接点を通る半径に垂直である」は定理より明らかです。(垂上の定理の証明より、直でないと接線ではなく割線となるからです。)
このように定理明すぐに導かれる事柄で、もとの定理に劣らぬ重要性を持つものと考えられるものを『その定理の系』と言い、今回の質問の「円の接線は、接点を通る半径に垂直である」今回証明した定理の系にあたります。(定理が証明されてしまえば公理のように当たり前の事なので、証明の必要はないです。)
長くなってしまって御免なさい。証明は図を書いて見て下さい。わかりやすくなるはずです。証明でわからない所がありましたら、解答の補足に書いて下さい。
大変遅くなって申し訳ありません。
証明、すごく難しいですね。
すいません、私のレベルが低いのかも・・・
割線という言葉もはじめて聞きました。
こんな難しいものを、中1で学習されたとはおどろきです。
私は中2なのにまだまだです。
回答ありがとうございました。
No.10
- 回答日時:
厳密に証明するっていうわけではないけど垂直になることが納得できないなら自分で実際に作図してみるというのもひとつの手じゃないかな?
円を書いてそして適当なところに接線を引いてみる。円の中心からこの接線までの最も短い線分は接点のところになるよね。
ある点から直線abまでの距離が最も短い線は直線abと垂直に交わるところというのは想像つくと思う。90度から少しでもずれたら最も短い線よりちょっと長くなっちゃう。
三角形の高さもある点から底辺までの最短距離の線を引くわけだけどこれも垂直になるしね。
No.8
- 回答日時:
中学生の方にはちょっと難しいかもしれませんが、この証明は、かの有名な「ユークリッド原論」にもかかれています。
ちなみにこの証明には、背理法というものを使います。(背理法とは、命題を偽だと仮定すると、結論に矛盾が生じるため、結果として命題は正しいと導く証明方法です。)まずこれを証明するためには
命題
「三角形の2つの辺を取る。そのうちの長い辺の対角は、短い辺の対角よりも大きい。」
を知ってる必要があります。つまり、「三角形ABCにおいてAC>ABであるから、∠B>∠Cである」というものです。
この命題を利用して
(証明)
円O上の点Aで接線を引く。もし、接線と半径が垂直でなかったとすると、中心から接線に下ろした垂線の足は接点Aとは別の点Bになる。∠OBA=90°だから、∠OAB<90°である。
命題により
∴OA>OB…(1)
ところが、線分OBは円周と交わるから、OBは円Oの半径より大きい。すなわちOC<OB。
∴OA<OB…(2)
すると(1)と(2)は矛盾する。
よって、半径と接線は垂直でなければならない。(証明終)
これは幾何学の問題なので、図を描いて考えるとわかりやすいと思います。
背理法について考えてみたのですが、やっぱりよくわかりませんでした。
頭が悪いのかも・・・と少し落ち込みました。
いずれ学習するときまで、保留にしておきます。
回答ありがとうございました。
No.6
- 回答日時:
数学の証明法で「背理法(はいりほう)」というのがあります。
これは、「Aである」ということを証明したいときに、まず「Aでない」と仮定します。「Aでない」から出発して論理的に矛盾した結論が出れば、「Aでない」はまちがっていたことになります。つまり、「Aである」が証明できたことになるという方法です。
さて、Oを中心とする半径rの円を考えます。円周上の1点をPとします。Pを通る円の接線Lを引きます。ここで証明したいことは L⊥OP です(⊥は垂直の意味です)
そこで、まず L⊥OP でない と仮定します。このとき、OからLに向かって垂線を引きます。そして、垂線がLと交わった点をQとします。△OPQは直角三角形です。OPは△OPQの斜辺ですから、OP>OQ です。OPは半径ですから、OQがOPより短いということは、Qが円の内部にあることを意味します。Qは接線上の点だったはずですが、これが円の内部にあるということは、接線であることに反します。これで矛盾が出たので、最初の仮定『L⊥OP でない』はまちがっています。
これで、『L⊥OP』が証明されました。
この回答への補足
遅くなってすみません。
本題に行く前に、背理法が難しくてよくわかりませんでした。
もっとくわしく調べてみたいです。
お礼はかならず書きますから、もう少し待ってください。
お願いします。
L⊥OPの証明の部分は理解できました。
しかし、わからないのは背理法です。
この方法、どうも納得がいかないのです。
検索してみても、難しい内容ばかりでよくわかりませんでした。
今の私には早いのかもしれません。
そのうち習ってから、もう一度よく考えることにします。
回答ありがとうございました。
No.5
- 回答日時:
どこまでご存知かによって説明のしかたが変わるにですが、
まず、原点(0,0)から半径rの円の方程式(これは高校の範囲)は円周の任意の点を(x、y)とおくと√(x^2+y^2)=r と置けるので
円の方程式はx^2+y^2=r^2
(ちなみに原点でなく(a,b)を中心とした半径rの円の方程式は(x-a)^2+(y-b)^2=r^2と置けます)
この円周上の任意の点(X,Y)上の接線の方程式は(これも高校の範囲)xX+yY=r^2・・・・(1)と置けます。
この円の原点を通り(X、Y)を通る方程式は、
Xy-Yx=0・・・・・(2) (これはわかると思います傾きがY/Xで原点を通る一次関数を考えればいいです。)
(1)と(2)から(1)の傾きと(2)の傾きを比較します。
y=ax+bとy=cx+dの直線が直行する条件は
a×c=-1(これは今の中学の範囲内なのでしょうか?)を使ってやると。(1)と(2)の傾きの積がー1になるので直行することがいえるのです。
(ちょっと不完全なところがあるのですがこんなところでしょうか。例えば(0、c)上の場合とか)
高校レベルです。ベクトルとか微積分の知識があればこの証明はたいしたことはありません。
わからなくてもいいです。レベル的には球の体積がなぜ4/3(πr^3)なのかを計算するようなレベルだと思ってくれればいいです。
もうちょっとうまい説明をする人がいると思いますので他の人の回答を参考にしてください。
円の方程式?はよくわかりませんが、つまり、円にも一次関数のように式があって、直線と円が交わるときの傾きの積が-1になればいいということですね。
おもしろいなあと思いました。
回答ありがとうございます。
No.4
- 回答日時:
今ある円の直径ABを考える時に
点Aから点Bまで上半分の円周を移動する点をPとする点Pの接線の傾きは、最初上向きで後に下向きになる。
ところで、円はABを2等分割する線に対して対称であるから、点Pを通る接線は、かならずどこかでABに平行になり、また、それが対称の軸の所であることは明らか。
ABの2等分線はABに垂直であり、また点Pを通る接線に垂直である。
なので、この時半径と点Pでの接線は垂直になっていることがわかる。
ところで、円は、任意に回転しても同じ図形であるから、円周上のの任意の点での接線は半径に垂直であると言える。
微分を使う
円を円周上の点(x,y)の組で表すと
f(x,y)=(cosθ,sinθ) 注円は相似であるから単位円でやればOK
この時
点(x,y)での接線の傾きは
dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=cosθ/(-sinθ)=-(x/y)
半径の傾きはy/x
なので、半径と円の接線は垂直に交わる
理解できましたが、ちょっと難しいです。
後半はさっぱりわかりませんでした。
微分?は、まだ習っていないのだと思います。
ごめんなさい。
回答ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
「円の接線は、接点を通る半径に垂直である。
」これを【方冪(ほうべき)の定理】(円の接線の性質)と言います。
中学生の段階では、他の定理と同じ様に、
「こういう事が成り立つんだ」と理解していれば良いと思います。
証明しようとすると、
http://www.math.meiji.ac.jp/~ahara/cdyjapan/basi …
と言う感じになります。
定理にはいろんなものがありますが、高等数学の範囲になってしまいます。
たとえばこんな感じです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%90%86
http://www25.tok2.com/home/toretate/home20.html
がんばって下さい。
参考になれば幸いです^^
参考URL:http://www.benesse.co.jp/ck/challenge/img/mg0200 …
方べきの定理、これ自体はなんとか理解できました。
つまり方べきの定理を使って証明するということですよね。
回答ありがとうございました。
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