円の接線はなぜ接点を通る半径に垂直なのかわかりません

中学生です。
いま、授業で円の接線について勉強しています。
教科書には、「円の接線は、接点を通る半径に垂直である」と書いてあるのですが、どうしてなのかわかりません。
通常なら、ここでこれを証明するはずなのですが、あたりまえのように書いてあるだけで証明がないんです。
これは定理ではないのでしょうか。

No.9 ベストアンサー 回答者： quantum2000 回答日時： 2005/02/26 04:48

教科書風の証明としては、No.７さんの雰囲気で、

(1)接点を通る半径に垂直に交わってる直線を考えると、この直線は、接線の時以外は円といつでも２点で交わっています。そして、合同な２つの直角三角形が常に現れていています。
(2)ここで、この直線と半径の交点を接点に近づくように直線を動かしていくと、２つの交点は、今考えている半径に対して、左右対称の位置のまま接点に近づいていきます。
(3)そして、直線と半径との交点が接点の位置になったとき、この２つの交点は一致して、それは接点の位置になります。そしてこのとき、直線は接線となり、いま考えている半径に対して垂直のままです。

こんな感じですが・・・。

この回答へのお礼

よくわかりました。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/03/22 13:52

No.12 回答者： ryuta_mo 回答日時： 2005/02/28 00:25

かなり昔に同じ質問をしたことがあります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=150127
No5がわかりやすかったです。

#同じ質問でこれだけ回答数が違うのは３年半の間にこれだけユーザーが増えたってことなのかなぁ。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=150127

この回答へのお礼

大変遅くなって申し訳ありません。

背理法はやっぱりよくわかりませんでした。
私には、NO.3さんの回答がわかりやすかったです。
接弦定理、つい最近習ったところだったので。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/11 01:24

No.11 回答者： chiropy 回答日時： 2005/02/26 19:24

これは中学生でも解けますよ。

（私が中1の時幾何の授業で習いました。因みに今高1です。）

これは「円の接線は接点を通る半径に垂直である」を証明するのではなく、まず
「円の半径の端点を通る直線の中で、その半径に垂直な直線は垂線であり、（垂直でないものは割線である）」
という《定理》を証明します。
（証明）
　円Oの周上の一点をTとし、OTに垂直な直線をABとする。AB上のTと異なる点をT'とするとOT'は直角三角形OTT'の斜辺であるから　OT'＞OTである。よってT'は円Oの周上のにはない。円Oと直線ABはただ一つの点Tを共有するから直線ABは円Oの接線である。
　次に円Oの周上の点をAとし、Aを通りOAに垂直でない直線ｌにOより垂線OMを引く。AMの延長上にBをとりAM=BMになるようにすると
AM=BM・OM共通・∠AMO=∠BMO=∠R（90度）より
△OAM=△OBM（二辺夾角相当）
∴OA=OB（=半径）
よりBは円Oの周上にある。円Oと直線ｌは2点A、Bを共有するから直線ｌは円Oの割線である。
　　　　　　　Q.E.D.（証明終了）

以上より「接点を通る半径に垂直な直線は垂線」であることが証明できました。これは定理です。次に質問であった、「円の接線は、接点を通る半径に垂直である」は定理より明らかです。（垂上の定理の証明より、直でないと接線ではなく割線となるからです。）
このように定理明すぐに導かれる事柄で、もとの定理に劣らぬ重要性を持つものと考えられるものを『その定理の系』と言い、今回の質問の「円の接線は、接点を通る半径に垂直である」今回証明した定理の系にあたります。（定理が証明されてしまえば公理のように当たり前の事なので、証明の必要はないです。）

長くなってしまって御免なさい。証明は図を書いて見て下さい。わかりやすくなるはずです。証明でわからない所がありましたら、解答の補足に書いて下さい。

この回答へのお礼

大変遅くなって申し訳ありません。

証明、すごく難しいですね。
すいません、私のレベルが低いのかも・・・
割線という言葉もはじめて聞きました。
こんな難しいものを、中１で学習されたとはおどろきです。
私は中２なのにまだまだです。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/11 01:19

No.10 回答者： noname#20504 回答日時： 2005/02/26 14:22

厳密に証明するっていうわけではないけど垂直になることが納得できないなら自分で実際に作図してみるというのもひとつの手じゃないかな？

円を書いてそして適当なところに接線を引いてみる。円の中心からこの接線までの最も短い線分は接点のところになるよね。
ある点から直線ａｂまでの距離が最も短い線は直線ａｂと垂直に交わるところというのは想像つくと思う。９０度から少しでもずれたら最も短い線よりちょっと長くなっちゃう。
三角形の高さもある点から底辺までの最短距離の線を引くわけだけどこれも垂直になるしね。

この回答へのお礼

すごくわかりやすかったです。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/03/22 13:55

No.8 回答者： wiser 回答日時： 2005/02/26 02:37

中学生の方にはちょっと難しいかもしれませんが、この証明は、かの有名な「ユークリッド原論」にもかかれています。

ちなみにこの証明には、背理法というものを使います。(背理法とは、命題を偽だと仮定すると、結論に矛盾が生じるため、結果として命題は正しいと導く証明方法です。)

まずこれを証明するためには
命題
「三角形の２つの辺を取る。そのうちの長い辺の対角は、短い辺の対角よりも大きい。」
を知ってる必要があります。つまり、「三角形ＡＢＣにおいてＡＣ＞ＡＢであるから、∠Ｂ＞∠Ｃである」というものです。

この命題を利用して
(証明)
円Ｏ上の点Ａで接線を引く。もし、接線と半径が垂直でなかったとすると、中心から接線に下ろした垂線の足は接点Ａとは別の点Ｂになる。∠ＯＢＡ＝９０°だから、∠ＯＡＢ＜９０°である。
命題により
∴ＯＡ＞ＯＢ…(1)
ところが、線分ＯＢは円周と交わるから、ＯＢは円Ｏの半径より大きい。すなわちＯＣ＜ＯＢ。
∴ＯＡ＜ＯＢ…(2)
すると(1)と(2)は矛盾する。
よって、半径と接線は垂直でなければならない。(証明終)

これは幾何学の問題なので、図を描いて考えるとわかりやすいと思います。

この回答へのお礼

背理法について考えてみたのですが、やっぱりよくわかりませんでした。
頭が悪いのかも・・・と少し落ち込みました。
いずれ学習するときまで、保留にしておきます。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/03/22 13:50

No.7 回答者： hoo 回答日時： 2005/02/26 02:30

円周上の2点を仮にAとBにします

円の中心点をRとします
AとBを通る線を引きます
この時三角形ABRは2等辺三角形です
当然、角RABと角RBAは等しくなります
これは点AとBが何処に有っても
三角形ABRは2等辺三角形で
角RABと角RBAは等しくなります
ここで線ARと線BRが重なった時、お互いの角度が90度
でないと線は重なりません

この回答へのお礼

大変わかりやすかったです。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/03/14 18:47

No.6 回答者： shkwta 回答日時： 2005/02/26 02:22

数学の証明法で「背理法（はいりほう）」というのがあります。

これは、「Ａである」ということを証明したいときに、まず「Ａでない」と仮定します。「Ａでない」から出発して論理的に矛盾した結論が出れば、「Ａでない」はまちがっていたことになります。つまり、「Ａである」が証明できたことになるという方法です。

さて、Ｏを中心とする半径ｒの円を考えます。円周上の１点をＰとします。Ｐを通る円の接線Ｌを引きます。ここで証明したいことは　Ｌ⊥ＯＰ　です（⊥は垂直の意味です）

そこで、まず　Ｌ⊥ＯＰ　でない　と仮定します。このとき、ＯからＬに向かって垂線を引きます。そして、垂線がＬと交わった点をＱとします。△ＯＰＱは直角三角形です。ＯＰは△ＯＰＱの斜辺ですから、ＯＰ＞ＯＱ　です。ＯＰは半径ですから、ＯＱがＯＰより短いということは、Ｑが円の内部にあることを意味します。Ｑは接線上の点だったはずですが、これが円の内部にあるということは、接線であることに反します。これで矛盾が出たので、最初の仮定『Ｌ⊥ＯＰ　でない』はまちがっています。
これで、『Ｌ⊥ＯＰ』が証明されました。

この回答への補足

遅くなってすみません。
本題に行く前に、背理法が難しくてよくわかりませんでした。
もっとくわしく調べてみたいです。
お礼はかならず書きますから、もう少し待ってください。
お願いします。

補足日時：2005/03/10 15:53

この回答へのお礼

Ｌ⊥ＯＰの証明の部分は理解できました。

しかし、わからないのは背理法です。
この方法、どうも納得がいかないのです。
検索してみても、難しい内容ばかりでよくわかりませんでした。
今の私には早いのかもしれません。
そのうち習ってから、もう一度よく考えることにします。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/03/14 18:39

No.5 回答者： k_train_9999 回答日時： 2005/02/26 02:02

　どこまでご存知かによって説明のしかたが変わるにですが、

　まず、原点（０，０）から半径ｒの円の方程式（これは高校の範囲）は円周の任意の点を（ｘ、ｙ）とおくと√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＝ｒ　と置けるので
　円の方程式はｘ＾２＋ｙ＾２＝ｒ＾２
　（ちなみに原点でなく（a,b)を中心とした半径ｒの円の方程式は（ｘ－a)^2+(y-b)^2=r^2と置けます）
　　この円周上の任意の点（X,Y）上の接線の方程式は（これも高校の範囲）ｘX＋ｙY＝ｒ＾２・・・・(1)と置けます。
　　この円の原点を通り（X、Y）を通る方程式は、
　Xy-Yｘ＝０・・・・・(2)　（これはわかると思います傾きがY／Xで原点を通る一次関数を考えればいいです。）
　(1)と(2)から(1)の傾きと(2)の傾きを比較します。
　ｙ＝ax+bとｙ＝ｃｘ＋ｄの直線が直行する条件は
　a×ｃ＝－１（これは今の中学の範囲内なのでしょうか？）を使ってやると。(1)と(2)の傾きの積がー１になるので直行することがいえるのです。
　（ちょっと不完全なところがあるのですがこんなところでしょうか。例えば（０、ｃ）上の場合とか）
　高校レベルです。ベクトルとか微積分の知識があればこの証明はたいしたことはありません。
　わからなくてもいいです。レベル的には球の体積がなぜ４／３（πｒ＾３）なのかを計算するようなレベルだと思ってくれればいいです。
　もうちょっとうまい説明をする人がいると思いますので他の人の回答を参考にしてください。

この回答へのお礼

円の方程式？はよくわかりませんが、つまり、円にも一次関数のように式があって、直線と円が交わるときの傾きの積が－１になればいいということですね。
おもしろいなあと思いました。

回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/03/01 01:50

No.4 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/02/26 02:02

今ある円の直径ＡＢを考える時に

点Ａから点Ｂまで上半分の円周を移動する点をＰとする点Ｐの接線の傾きは、最初上向きで後に下向きになる。
ところで、円はＡＢを２等分割する線に対して対称であるから、点Ｐを通る接線は、かならずどこかでＡＢに平行になり、また、それが対称の軸の所であることは明らか。
ＡＢの２等分線はＡＢに垂直であり、また点Ｐを通る接線に垂直である。
なので、この時半径と点Ｐでの接線は垂直になっていることがわかる。
ところで、円は、任意に回転しても同じ図形であるから、円周上のの任意の点での接線は半径に垂直であると言える。

微分を使う
円を円周上の点(x,y)の組で表すと
f(x,y)=(cosθ,sinθ) 注円は相似であるから単位円でやればＯＫ
この時
点(x,y)での接線の傾きは
dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=cosθ/(-sinθ)=-(x/y)
半径の傾きはy/x
なので、半径と円の接線は垂直に交わる

この回答へのお礼

理解できましたが、ちょっと難しいです。
後半はさっぱりわかりませんでした。
微分？は、まだ習っていないのだと思います。
ごめんなさい。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/03/01 01:38

No.3 回答者： MrBoon 回答日時： 2005/02/26 01:49

「円の接線は、接点を通る半径に垂直である。

」
これを【方冪（ほうべき）の定理】（円の接線の性質）と言います。

中学生の段階では、他の定理と同じ様に、
「こういう事が成り立つんだ」と理解していれば良いと思います。

証明しようとすると、
http://www.math.meiji.ac.jp/~ahara/cdyjapan/basi …
と言う感じになります。

定理にはいろんなものがありますが、高等数学の範囲になってしまいます。

　たとえばこんな感じです。
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%90%86
　http://www25.tok2.com/home/toretate/home20.html

がんばって下さい。

参考になれば幸いです＾＾

参考URL：http://www.benesse.co.jp/ck/challenge/img/mg0200 …

この回答へのお礼

方べきの定理、これ自体はなんとか理解できました。
つまり方べきの定理を使って証明するということですよね。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/02/26 23:16