解析学

半直線[0,∞）上の関数fn(x)＝nx/(1+n^2・x^2)（nは自然数）のとき、各nでsup｛fn(x):x≧0｝≧1/2
であることの証明を教えて頂きたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/06/07 00:21

tanθ = nx　　(x∈[0,∞), n＞0)

としてみると、
　　fn(x) = (tanθ)/(1 + (tanθ)^2) = (1/2) sin(2θ)
で、θの範囲は0≦θ＜π/2。だから
　　sup {fn(x):x≧0}
　　= sup { (1/2) sin(2θ) : 0≦θ＜π/2}
　　= (1/2) sup { sinθ : 0≦θ＜π} = 1/2 ≧1/2

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/06 22:52

あ、いかん。

x ≧ 0 だった。

x ≠ 0 と x = 0 で場合分けして、
No.1 から sup｛ fn(x) : x>0 ｝ = 1/2.
fn(0) = 0 なので、併せると
sup｛ fn(x) : x≧0 ｝ = 1/2.

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/06 22:49

1 + (nx)^2 ≧ 1 + 0 > 0 より、

x ≧ 0 のとき、 fn(x) = nx/(1 + (nx)^2) >0.

よって 1/fn(x) を考えることができ、
以下のように相加相乗平均の関係が使える。
1/fn(x) = 1/(nx) + nx ≧ 2√{ (1/(nx)) (nx) } = 2.
等号成立は、1/(nx) = nx すなわち x = 1/n のとき。

min｛ 1/fn(x) : x≧0 ｝= 2 だから、
1/2 = 1/min｛ 1/fn(x) : x≧0 ｝
　　= max｛ fn(x) : x≧0 ｝
　　= sup｛ fn(x) : x≧0 ｝.