確率変数の確率分布の問題についてです。ご回答よろしくお願い致します。

確率変数Xの確率分布が P(X = k) = pk ＝ c(1/4)^(k-1) 　k = 1,2,3…
である時、定数cを求めなさい。

No.2 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/11 11:27

企業で統計を推進する立場の者です。

離散変数の場合、確率密度のことを確率質量といいます。変数ｋ毎の出現確率を表しスモールｐを使います。連続変数では固定値ｋの出現確率は確率密度の面積が０なので、出現確率も０だということは区別して理解しておいてください。
また、一般的には累積確率分布（連続変数では面積、離散変数ではｐの和）のことを、単に確率分布といいます。ラージＰを使います。

さて、与式を見ると、Ｘ＝ｋの時だけの累積確率はｋ番目の出現確率に等しく（当たり前）、それはc(1/4)^(k-1) だと言っています。
ここまではＯＫですか？

ここからは#1さんが書かれていることを実際にやっていきます。

ｋ＝1,2,3・・・つまり変数ｋ毎の出現確率をｋ→∞まで考えよ、としています。さて、それが出現する全ての場合になりますので、全ての確率は100％つまり１になります。

そこで、変数ｋが１～∞までの出現確率ｐの総和を考えましょう。

初項がａ、公比がｒ（|r|＜１）の無限等比級数S∞は、

S∞＝ａ／(1ーr)

なので（これは高校数学でやります）、これに初項ｃ（pkにｋ＝１を代入して求める）、公比1/4を代入します。

すると、Ｓ∞＝ｃ／（3/4）となります。

これを１と置いてｃを解けば、ｃ＝4/3

検算はしていませんので、ご自分でお願いします。

この回答へのお礼

返信が遅くなり申し訳ありません。とてもわかりやすい回答でありがとうございました。ベストアンサーを選ばせていただきます。

お礼日時：2021/06/14 12:08

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/11 11:39

#3さんの回答を見て間違いに気づきました。

すみません。

すると、Ｓ∞＝ｃ／（3/4）となります。

［誤］これを１と置いてｃを解けば、ｃ＝4/3
↓
［正］これを１と置いてｃを解けば、ｃ＝3/4

汗顔しきりです。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/11 11:32

No.1 です。

全ての場合の確率の合計を求めれば

Σ[k=1～∞]pk = Σ[k=1～∞][c(1/4)^(k-1)] = cΣ[k=1～∞][(1/4)^(k-1)]

シグマの中は
　1 + (1/4) + (1/4)^2 + (1/4)^3 + ・・・
という公比 1/4 の無限等比級数なので
　Σ[k=1～∞][(1/4)^(k-1)] = 1/[1 - (1/4)] = 4/3

従って、
　Σ[k=1～∞]pk = (4/3)c

これが「全ての場合の確率の合計」なので「１」にならないといけないので、
　(4/3)c = 1
従って
　c = 3/4

この回答へのお礼

返信が遅くなり申し訳ありません。とてもわかりやすい回答でありがとうございました。

お礼日時：2021/06/14 12:09

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/10 20:26

(1/4)^n は、n→∞ で 0 に収束するね。

ということは
　k = 1～∞
の総和もある値に収束する。
「確率」なのでから、その総和は「１」にならないといけない。
そうなるように係数 c は決まるよね。