色彩検定1級を取得する魅力を紹介♪

実数を係数とする多項式P(x)で、
任意の実数xに対してP(x)≠0であるが、
任意の正の実数εに対してある実数aが存在して|P(a)|<ε
となるようなものは存在しますか?
理由とともにお願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

ないです。


1/P(x) という有理関数を考えてみましょう。
任意の正数 ε に対して |P(a)|<ε となる実数 a がある ということは、
任意の正数 1/ε に対して |1/P(a)|>1/ε となる実数 a がある ということです。
すなわち、 1/P(x) は有界ではないということ。
有理関数は、極を除いて連続ですから、1/P(x) は極を持つか
lim[x→±∞] |1/P(x)| = ∞ かのどちらかになります。
1/P(x) が極を持つことは、任意の実数 x に対して P(x)≠0 であることに反します。
lim[x→±∞] |1/P(x)| = ∞ であれば、lim[x→±∞] P(x) = 0 ですが、
そのような多項式は定数関数 0 のみであり、やはり P(x)≠0 に反します。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

天才やな

ありがとうございます。
とてもよく理解できました。

お礼日時:2021/06/12 09:08

たびたび失礼しました。

    • good
    • 0
この回答へのお礼

Thank you

いえ、ありがとうございます。

任意の正の実数εに対してある実数aが存在して|P(a)|<ε

ある実数aが存在して任意の正の実数εに対して|P(a)|<ε
の違いですね。

お礼日時:2021/06/12 07:54

存在しない。


もし存在すると、P(a)≠0 であり、ε=|P(a)|/2 とすると
|P(a)|<ε=|P(a)|/2 → |P(a)|<0
となり、矛盾。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

がんばります

ε=|P(a)|/2に対してある実数bが存在して
|P(b)|<|P(a)|/2となる、ということです。
aはεに依存しています。

お礼日時:2021/06/11 22:07

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

gooドクター

人気Q&Aランキング