統計学の問題がわかりません。教えてください。

下記の問題がわかりません。

A会社のポテトチップスは平均値300、分散15の正規分布に従うと仮定する。ランダムにポテトチップスをn個選んで、平均値を測定した時に、母平均から±1 g以上離れる確率を5%以内にするためには、何個のポテトチップスが必要か？

よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/16 01:17

企業で統計を推進する立場の者です。

平均値の分布は、N(μ，var／n) に従います。

±１ｇに95％入るようにするのですから、1.96σ＝1と置けます。

σ＝√(var／n)＝√(15／n) ですから、

1.96√(15／n)＝１ と変形できます。両辺を２乗して、

3.84(15/n)＝1

n＝3.84×15
＝57.6

よって、58個あれば良いでしょう。

検算はやっていませんので、ご自分でなさって下さい。

この回答へのお礼

自分で検算してみましたが、確かに58になりました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2021/06/16 10:47

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/16 10:26

問題の解法は #1 さんのとおりですが、なぜそうするのか、ということについて少し補足します。

実験で温度や時間を測定するときに、「１回測っただけでは誤差があるかもしれないので、10回測定して平均値をとる」みたいなことをしますよね？

自分の脈拍や血圧を測るときも、何回か測って平均した方が「誤差が少ない、より平常値に近い」値になります。

それと同じように、「ｎ回測って平均をとる」ことにより、1回ごとではバラバラに誤差が出るものが、「プラスの誤差」と「マイナスの誤差」が平均化（相殺）されて、より「母集団の平均に近い」値になります。
ひとりひとりの子供の身長はバラバラですが（背の高い子もいれば低い子もいる）、各クラスで平均をとると、だいたい同じぐらいの値になる（全国平均に近くなる）という感じです。
そのイメージは想像できますか？

誤差（標準偏差）が s の母集団から１個サンプルを採ってくれば、そのバラツキは「±s」ですが（通常「誤差」とは「標準偏差」のことを言います）、ｎ個のサンプルを採って来て平均すると、そのサンプル平均のバラツキは
　±s/√n
になることが知られています。
これ、ちょっとわかりづらいのですが「n 個からなるサンプル」を無作為にたくさん採ってくると、その各々の「サンプル平均」は、母平均の周りに、この「バラツキ」（標準偏差）で正規分布するはずだ、ということです。

つまり、サンプル10個の平均をとれば、その誤差は
　±s/√10 ≒ ±0.316s
サンプル100個の平均をとれば、その誤差は
　±s/√100 ≒ ±0.1s
と、1個だけのときの誤差に比べて小さくすることができます。

お示しのポテトチップスの場合には
　分散：s^2 = 15
つまり
　標準偏差：s = √15 ≒ 3.87 [g]
です。
従って、n 個採って来たサンプル平均の誤差は
　σ = 3.87/√n　　　　　①


一方、正規分布では、下記のように
・平均 ± σ の範囲に全体の 68.3% がある
・平均 ± 2σ の範囲に全体の 95.4% がある
・平均 ± 3σ の範囲に全体の 99.7% がある
という確率分布になります。

↓　正規分布の性質
http://www.stat.go.jp/naruhodo/11_tokusei/suisok …

これを、σ側ではなく「全体の○○%」の方を基準にした言い方にすると
　平均値 ± 1.65σ　の範囲に、全体の 90.0% がある
　平均値 ± 1.96σ　の範囲に、全体の 95.0% がある
　平均値 ± 2.57σ　の範囲に、全体の 99.0% がある
ということになります。

例題で求めたいのは「母平均から±1 g以上離れる確率を5%以内にする」ということですから、逆にいえば「母平均から ±1 g 以内に入る確率を95%以上にする」ということです。
つまり
　1.96σ ≦ 1 g
にするということ。

①を代入すれば
　1.96 × 3.87/√n ≦ 1
→　7.5852 ≦ √n
→　57.53･･･ ≦ n
ｎは整数なので
　58 ≦ n