オイラー定数 https://ja.m.wikipedia.org/wiki/オイラーの定数 が1/

オイラー定数　
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/オイラーの定数
が1/2より大きいことをオイラー定数の定義から示してください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/08 18:32

{ 1/k + 1/(k+1) }/2 > ∫[k,k+1] dx/x をΣするとき、

k=1,2,...,n-1 でΣすると
1/2 + Σ[k=2,...,n-1] 1/k + 1/(2n) > ∫[1,n] dx/x から
Σ[k=1,...,n] 1/k - log n > 1/2 - 1/(2n) が導かれるが、

k=2,3,...,n-1 でΣすれば
1/4 + Σ[k=3,...,n-1] 1/k + 1/(2n) > ∫[2,n] dx/x から
Σ[k=1,...,n-1] 1/k - log n > 5/4 - log 2 - 1/(2n) が導かれる。
よって、γ = lim[n→∞] { Σ[k=1,...,n-1] 1/k - log n } ≧ 5/4 - log 2.

あとは、 log 2 の近似値。

log のテイラー展開 log(1+x) = Σ[k=1→∞] { (1/k)(-1)^(k-1) }x^k
の収束半径は 1 だが、 x = 1 のとき
Σ[k=1→∞] (1/k)(-1)^(k-1) = Σ[j=1→∞] 1/(2j-1) - 1/(2j)
= Σ[j=1→∞] 1/{ (2j-1)(2j) }
< Σ[j=1→∞] 1/(2j-1)^2
= 1 + Σ[j=2→∞] 1/(2j-1)^2
< 1 + Σ[j=2→∞] ∫[j-1,j] 1/x^2 dx
= 1 + ∫[1,∞] 1/x^2 dx
= 1 + { 0 - (-1) }
= 2.
で優級数収束定理より収束する。
よって、 log 2 = Σ[k=1→∞] (1/k)(-1)^(k-1).
右辺は交代減少級数だから、
log 2 < Σ[k=1→9] (1/k)(-1)^(k-1) と打ち切れる。

以上より
γ ≧ 5/4 - { 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + 1/9 }
= 1271/2520 > 1/2.

最後のとこで 9 項まで足さなきゃならなかったのには
泣きそうになった。
log 2 の評価は、もっとマシな方法を探すべきか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。とても助かりました

お礼日時：2021/07/08 18:56

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/07/08 11:54

解析入門Ⅰ、杉浦より、オイラーの定数Cは

　A[n]=1+1/2+1/3+･･･+1/n-logn のとき、A[n] → C
とします。

1/x は凸関数なので
　{1/k+1/(k+1)}/2 > ∫[k→k+1] dx/x
→ 1/k - ∫[k→k+1] dx/x > {1/k-1/(k+1)}/2
両辺にΣをとって
　Σ[k=1,n-1]1/k - ∫[1→n] dx/x
　　　 > Σ[k=1,n-1]{1/k-1/(k+1)}/2=(1-1/n)/2
ここで
　∫[1→n] dx/x=logn
だから

　Σ[k=1,n-1]1/k - logn > (1-1/n)/2
左辺は A[n] だから、n → ∞とすると
　C≧1/2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。結論に等号がついてますが　> にすることはできませんか？

お礼日時：2021/07/08 16:23