中3数学の問題です。 (ア)のもんだいはなぜ写真のような途中式になるのですか？

中3数学の問題です。
(ア)のもんだいはなぜ写真のような途中式になるのですか？

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/07/21 13:58

√5-1=M としたのですよね。

ならば 問題の式は M²+5M+6 で たすき掛けで 因数分解出来ますね。
M²+5M+6=(M+2)(M+3) ですね。
M を元に戻すと (√5-1+2)(√5-1+3)=(√5+1)(√5+2) となりますね。
これを 分配の法則に従って 展開します。
(√5)²+2√5+√5+2=5+3√5+2=7+3√5 。
（画像の式は 途中式の細かい部分を 省略していますね。）

置き換えをしなくて そのまま計算しても 難しくはありません。
(√5-1)²+5(√5-1)+6
={(√5)²-2√5+1}+(5√5-5)+6
=5-2√5+1+5√5-5+6
=5+1-5+6-2√5+5√5
=7+3√5 。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/21 13:54

因数分解をりようして、省エネで計算しようとしていますよ

その際√5-1のままではわかりづらいので　
√5-1=Mというおきかえを利用しています

√5-1をMにおきかえると
(√5-1)²+5(√5-1)+6
=M²+5M+6
x²+5x+6の因数分解と全く同じ要領でMの式を因数分解して
=(M+2)(M+3)・・・①
Mを√5-1にもどして
M+2=√5-1+2=√5+1
M+3=√5-1+3=√5+2
だから
①続き=(√5+1)x(√5+2)
で　あとは分配法則にて最終行の答えが出ます

No.1 回答者： uueisn 回答日時： 2021/07/21 13:35

上に（M+2）（M+3)って書いてあるということは、計算の仕方はわかっているということだと思います。

√5ー1＝Mと置いたんでしょうね。
なら、（M+2)(M+3)＝(√5-1＋2)(√5-1+3)=(√5+1)(√5+2)となる理屈もわかるでしょう。