分布・平均・標準偏差の問題 数学

ハートの1, 2, 3の3枚のトランプが入った箱がある.この箱から2枚の札を取り出すとする。
ただし2枚の目の札を取り出す前に,最初に取り出した札は箱に戻すとする。
取り出された2枚の札の数字の和をxで表すとき,xの分布,xの平均μ,xの標準偏差σを求めよ。
(xの分布は数式でお願いします)

以上の分布、平均、標準偏差の3点を求められる方がいましたら回答お願いします。。。

質問者からの補足コメント

• 大学の授業の課題で出てきましたが、解くことができない状態です…

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/07/23 22:45

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/25 00:53

1枚取り出したときの分布が

カードの値　1　　2　　3
出現確率　1/3　1/3　1/3
ですから、
これを2回独立に反復した和の分布は
xの値　　　2　　3　　4　　5　　6
出現確率　1/9　2/9　3/9　2/9　1/9
となります。
ｘ の値ごとに、例えば x = 4 のときは
x = 1+3 = 2+2 = 3+1 で 3 通りだから
確率 = 3/3^2 とか、ひとつひとつ計算すれば
この表は書けます。
数式から導くのは難しいですね。
式で書くとすれば、表から後付けで変な式を
でっちあげることになります。
今回は、例えば
確率 = (3 - ｜x - 4｜)/9 とか、
確率 = 3 - (3/2)(x - 4)^2 + (1/2)(x - 4)^4 とか。
もっと他にも作れますけど、
変な式を作るより、表で書いたほうがいいような気がします。

平均と分散は、
1枚取り出したときの値 c の分布に対して
E[c] = 1(1/3) + 2(1/3) + 3(1/3)
　　= 2,
V[c] = E[c^2] - E[c]^2 = { (1^2)(1/3) + (2^2)(1/3) + (3^2)(1/3) } - 2^2
　　　　　　　　　　= 2/3.
なので、2枚のカードが独立なら
μ = E[x] = E[c1 + c2] = E[c1] + E[c2] = 2 + 2 = 4,
V[x] = V[c1 + c2] = V[c1] + V[c2] = 2/3 + 2/3 = 4/3,
σ = √V[x] = √(4/3) = ２/√3 = (2/3)√3
になります。

この回答へのお礼

ご丁寧な返答ありがとうございました！
表を自分で書いてみます。。。

お礼日時：2021/07/25 21:25

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/23 23:38

#1です。

勘違いしていました。サンプルｘは和を取った値ですからサンプルサイズ１で試行数N→∞とするんですね、たぶん。
そのN回についての平均、標準偏差を求めるのでしょうか。
いずれにしろ、間違えてすみません。

やってみると、和ｘとして出てくる値は、2,3,4,5,6しかなく、その出現比率は、1:2:3:2:1という離散分布です。

ヘンな形の離散分布ですから「xの分布は数式でお願いします」と言われると、悩んでしまいます。

とりあえず、分布以外はN→∞で
μ＝４
σ＝1.154701 くらい？

V(x)=(-2)^2 * 1/9 + (-1)^2 * 2/9 + 0^2 * 3/9 + 1^2 * 2/9 + 2^2 * 1/9
=1.3333333

σ＝√1.3333333＝1.154701

循環小数なので、厳密値は分数で求めた方が良いかも。

No.2 回答者： cametan_42 回答日時： 2021/07/23 22:47

分布:

1 < x <= 4 の時 p(x) = (x -1)/9
4 < x < 7 の時 p(x) = (-x + 7)/9

平均: 4
標準偏差: 1.1547005383792515

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/23 22:31

企業で統計を推進する立場の者です。

サンプルサイズｎ＝２で標準偏差を求めさせるって、何（統計学上の性質）のネタでしょうか。めちゃくちゃヤバいことをやろうとしていますね。

それの標本数（試行数）を∞にして、理論値と比較して論ぜよって問題？

どういう流れでこの問題が出てきたのか知りたいです。