はさみうちの原理を使って lim[n→∞](1+1/√n)^n を求めたいです。 試しにn = 1^

はさみうちの原理を使って　lim[n→∞](1+1/√n)^n を求めたいです。

試しにn = 1^2, 2^2, 3^2…　と入れてみたところ、単調増加で＋∞かな？と予想しこのようにしましたが(画質悪くてすみません)、左端がどうも埋められません。

左に、n→∞で∞に発散するものが持ってこれたら右端のはナシで求まると思うんですが、、、


lim[n→∞](1+1/n)^nがネイピア数eに収束することを利用するのが条件です。どなたか教えて頂けませんか。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/07/30 10:38

(1+1/√n)^n={(1+1/√n)^√n}^√n

と変形できます。
n→∞とすると{}の中がeに収束します。
それがさらに√n乗されてe^√nが∞に発散します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2021/07/31 00:01

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/29 14:20

2項定理から

(1+1/√n)^n
=Σ_{k=0～n}(nCk)(1/√n)^k
=1+(n/√n)+…+(1/√n)^n
≧1+√n
≧√n
∴
√n≦(1+1/√n)^n

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

lim[n→∞](1+1/n)^n=e(ネイピア数)を利用して解く方法はありませんか？

お礼日時：2021/07/29 15:51