P(A | B) > P(A) が成り立つ時、 P(A | B) > P(A | Bc)が成り立つ？

初歩的な部分ですが、教えてください（文系です）。

[全確率の公式、ベイズの定理] を勉強しています。

P(A | B) > P(A)が成り立つ時、P(A | B) > P(A | Bc) ※ c は補集合のc
が成り立つらしいのですが、どのようにすれば解けますでしょうか？

P(A | B) の部分をP(A ∩ B) / P(B)に変えてみたり、
P(A) の部分をP(A|B)P(B)+P(A|Bc)P(Bc)に変えてみたりしたのですが、うまくいきません。

恐らく
P(A | B) > P(A) の式を変形していくことで、
P(A | B) > P(A | Bc)　にするかそのように解釈するのかと思うのですが、、、

教えていただけませんでしょうか。

質問者からの補足コメント

• P (B | A) > P(B)
  も成り立ちます。

    補足日時：2021/08/29 11:23

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/29 13:08

P(A) = P(A∩B) + P(A∩Bc)

　　= P(B) P(A｜B) + P(Bc) P(A｜Bc) です。

もし、P(A｜Bc) ≧ P(A) だとすると、
P(B) > 0, P(Bc) > 0 から　　　←[1]
P(A) > P(B) P(A) + P(Bc) P(A)
　　= { P(B) + P(Bc) } P(A)
　　= P(A) となって、
P(A) > P(A) という矛盾が起こります。
よって、 P(A｜Bc) < P(A).
P(A | B) > P(A) > P(A | Bc) になります。

[1] に説明が必要かな？
P(A｜B) = P(A∩B)/P(B) が定義されていることから
P(B) = 0 ではない。
P(Bc) についても同様です。