この後、bを求めるにはどうしたら良いですか？

この後、bを求めるにはどうしたら良いですか？

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/31 07:08

これは、左右の分母を揃えて分子の

係数比較で解く
という戦略を使う。

分母を(x+1)^2 にすれば、分子は
a(x+1)+b=ax+(a+b)
これと 元の分子の式 x と係数比較して
a=1、b=-1

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/31 06:12

∫{x/(x+1)^2}dx

x/(x+1)^2
=a/(x+1)+b/(x+1)^2
={a(x+1)+b}/(x+1)^2
=(ax+a+b)/(x+1)^2

a=1
a+b=0
b=-a=-1

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/30 21:28

部分分数分解は、 分母の各因子 (x-c)^n に対して

(xのn次未満の多項式)/(x-c)^n の和で表されます。
今回の x/(x+1)^2 は、最初からこの形になっています。

あとは、これを分子が定数の形にするには、分子を
x = a(x+1) + b のように (x+1) についての多項式に
変形すればよいのです。
x+1 = y とおけば y-1 = ay+b ですから、係数比較して
a = 1, b = -1 ですね。 これを使って
x/(x+1)^2 = { 1(x+1) - 1 }/(x+1)^2
　　　　　= (x+1)/(x+1)^2 - 1/(x+1)^2
　　　　　= 1/(x+1) - 1/(x+1)^2.

n がもっと高次の場合も、やり方は同じです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/30 15:59

No.1 です。

もし、どうしても手書きのようにやりたいのなら、分子は

ax^2 + (2a + b)x + a + b

です。
手書きの展開は定数項の部分を間違えています。

一方、左辺も分母を (x + 1)^3 にそろえれば、分子は
　x(x + 1) = x^2 + x
になりますから、左辺と右辺が恒等的に等しいためには

x^2 の係数：1 = a
x の係数　：1 = 2a + b
定数　　：0 = a + b

これを解けば
　a=1, b=-1


そうしなくとも
　x/(x + 1)^2 = a/(x + 1) + b/(x + 1)^2
なら、右辺を通分して
　a/(x + 1) + b/(x + 1)^2
= a(x + 1)/(x + 1)^2 + b/(x + 1)^2
= (ax + a + b)/(x + 1)^2
なので、左辺 = 右辺 が恒等的に成り立つためには
　a = 1, a + b = 0
よって
　b = -1

従って

　x/(x + 1)^2 = 1/(x + 1) - 1/(x + 1)^2

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/30 14:55

なんで、わざわざ分母を3乗にするの？

2乗で通分できるよ。