場合の数と確率

締切済

質問者：秋雨_11_
質問日時：2021/09/07 22:08
回答数：5件

a、b、c、dの四文字を一列に並べる時一番目の文字はaではなく、二番目の文字はbではなく、三番目の文字はcではなく、四番目の文字はdではない並べ方は何通りあるか。

この問題の解き方教えてください！

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回答 (5件)

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No.5

回答者：ゼロプライム
回答日時：2021/09/10 20:51

5文字以上になると樹形図では大変ですが、

4文字以下なら樹形図がわかりやすいです。

[1] 1番目の文字は a 以外の3文字　b , c ,d
[2] 2番目の文字は 1番目の文字が
① b のときは、b 以外の3文字　a , c ,d
② c か d のときは、1番目の文字と b 以外の2文字
[3] 3番目と4番目の文字は合わせて考えて、
3番目と4番目の文字がそれぞれ c , d にならないようにします。

樹形図より、9通りです。

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No.4

回答者：ありものがたり
回答日時：2021/09/09 15:02

樹形図で数えるのは、数え違いが生じやすいですね。

4！を全て列挙して、当てはまらないものを消していったほうが安全でしょう。
並べる文字数が今回は 4 ですが、これが多くなると n！を列挙するのは厄介です。
計算で求めるやり方を考えてみます。

並べるものが a,b,c,d だと、ちょっと説明が言いづらいので、
1,2,...,n の n 個の数がひとつづつ書かれた n 枚のカードを
一列に並べることにしましょう。質問の問題では、n = 4 です。
先頭から k 枚目の位置には数 k を書いたカードが無いような
並べ方を、ここでは「良い配置」と呼ぶことにします。

n 枚からなる良い配置について、n 枚目のカードに注目しましょう。
このカードに書かれた数が k だったとします。
k の値は、1,2,...,n-1 のどれかで、n-1 種類あります。

ここで、n 枚目のカードと k 枚目のカードを入れ替えることｗ考え、
k 枚目のカードに書かれた数が n かどうかで場合分けします。

k 枚目のカードに書かれた数が n である場合：
カードを入れ替えて、n 枚目に移動した数 n のカードを無視すると、
残り n-1 枚のカードの並びは、n-1 枚からなる良い配置と一対一に対応します。

k 枚目のカードに書かれた数が n ではない場合：
カードを入れ替えて、n 枚目と k 枚目のカードを無視すると、
残り n-2 枚のカードの並びは、n-2 枚からなる良い配置と一対一に対応します。

以上より、n 枚からなる良い配置の数を a[n] とすると、
a[n] = (n-1){ a[n-1] + a[n-2] } という漸化式が得られます。

この漸化式を解いて一般項を求めることもできますが、
n = 4 でよいなら、順次漸化して求めたほうが楽でしょう。
a[1] = 0, a[2] = 1 は簡単に数えられますから、
a[3] = (3-1){ 1 + 0 } = 2,
a[4] = (4-1){ 2 + 1 } = 9 です。